MATLAB快速（分量）矢量操作...真的很快

Question

我寫了一段時間的MATLAB腳本，但仍然不明白它是如何工作的「引擎蓋下」。考慮下面的腳本，它使用（大）向量以三種不同的方式進行一些計算：

1. MATLAB矢量操作;
2. 簡單的循環，組件明智地做相同的計算;
3. 一個優化週期，應該比2.快，因爲避免了一些分配和一些分配。

下面是代碼：

N = 10000000; 

A = linspace(0,100,N); 
B = linspace(-100,100,N); 
C = linspace(0,200,N); 
D = linspace(100,200,N); 

% 1. MATLAB Operations 
tic 
C_ = C./A; 
D_ = D./B; 

G_ = (A+B)/2; 
H_ = (C_+D_)/2; 
I_ = (C_.^2+D_.^2)/2; 

X = G_ .* H_; 
Y = G_ .* H_.^2 + I_; 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

% 2. Simple cycle 
tic 
C_ = zeros(1,N); 
D_ = zeros(1,N); 
G_ = zeros(1,N); 
H_ = zeros(1,N); 
I_ = zeros(1,N); 
X = zeros(1,N); 
Y = zeros(1,N); 
for i = 1:N, 
    C_(i) = C(i)/A(i); 
    D_(i) = D(i)/B(i); 

    G_(i) = (A(i)+B(i))/2; 
    H_(i) = (C_(i)+D_(i))/2; 
    I_(i) = (C_(i)^2+D_(i)^2)/2; 

X(i) = G_(i) * H_(i); 
Y(i) = G_(i) * H_(i)^2 + I_(i); 
end 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

% 3. Opzimized cycle 
tic 
X = zeros(1,N); 
Y = zeros(1,N); 
for i = 1:N, 
    X(i) = (A(i)+B(i))/2 * ((C(i)/A(i) + D(i)/B(i)) /2); 
    Y(i) = (A(i)+B(i))/2 * ((C(i)/A(i) + D(i)/B(i)) /2)^2 + ((C(i)/A(i))^2 + (D(i)/B(i))^2)/2; 
end 
toc 
tic 
X; 
Y; 
toc 

我知道一個應該總是試圖向量化計算，是MATLAB建立了矩陣/矢量（因此，如今，它並不總是最好的選擇），所以我期待的東西，如：

C = A .* B; 

快於：

for i in 1:N, 
    C(i) = A(i) * B(i); 
end 

我是而不是即使在上面的腳本中，儘管我使用的第二個和第三個方法只經歷了一個循環，但第一個方法執行了許多向量操作（理論上，每次都是「for」循環）。這種力量我得出結論MATLAB有一些神奇的允許（例如）到：

C = A .* B; 
D = C .* C; 

要運行多單「表示」裏面的一些操作週期更快。

所以：

1. 什麼魔術這避免了第1部分中執行得這麼快？
2. 當你寫「D = A * B」時，MATLAB實際上是用一個「for」循環做一個組件明智的計算，還是簡單地跟蹤D包含「bla」和「bla」的一些乘法？

編輯

1. 假設我要實現相同的計算使用C++（使用也許有些庫）。將會是第一種MATLAB的方法比在C++中實現的第三種方法更快嗎？ （我會回答這個問題我自己，給我一些時間。）

EDIT 2

按照要求，這裏有實驗運行時間：

1部分：0.237143

第2部分：4.440132 其中0。195154用於分配

3部分：

1部分：其中0.057500用於分配

和沒有JIT 2.280640 的0.337259

第2部分：其中0.033886用於分配

149.602017 的

第3部分：82.167713 其中0.010852分配

Answer 1

第一個是最快的，因爲向量化代碼可以輕鬆解釋爲少量優化的C++庫調用。 Matlab也可以對其進行更高級別的優化，例如，在其核心中將G*H+I替換爲優化的mul_add(G,H,I)而不是add(mul(G,H),I)。

第二個不能輕鬆轉換爲C++調用。它必須被解釋或編譯。用於腳本語言的最現代的方法是JIT編譯。 Matlab JIT編譯器不是很好，但並不意味着它必須如此。我不知道MathWorks爲什麼不改進它。因此，＃2執行得如此之慢以至於即使它進行了更多「數學」操作，＃1也更快。

Julia語言被髮明是Matlab表達式和C++速度之間的折衷。相同的非矢量化代碼（julia vs matlab）工作速度非常快，因爲JIT編譯非常好。

Answer 2

關於性能優化，我使用'for' loop vs vectorization in MATLAB中提到的兩種方法使用profiler來跟蹤@memyself建議。

出於教育目的，它是有道理的實驗數值算法，對於任何我會去與經過充分驗證的libraries。