最低精度的ULP單位

Question

任何人都可以解釋最低精度的ULP單位嗎？ 我有以下定義，但仍不明確

「表示分數時的誤差大小與所存儲數量的大小成正比ULP或最小精度單位定義了您可以獲得的最大誤差當存儲一個數字時，存儲的數字越大，ULP越大。「

這是什麼意思？ 在此先感謝

Answer 1

每個浮點數表示實數的區間。該間隔相對於其浮點數（解釋爲二元分數）的方式取決於舍入模式。該誤差與間隔中的任何實數與浮點數的最大距離有關。

所以最安全的答案是到任何一方下一個浮點數的距離。如果舍入模式是通常舍入到最接近的浮點數，則最大錯誤是其一半。

Answer 2

在浮點格式，數字被表示帶符號小號，一個有效數（也稱爲分數）˚F，和一個指數ë。例如，具有二進制浮點，該值由小號，˚F，和ë是（-1）^小號•˚F•2 ^ë

表示f被限制爲一定數量的數字，並且在二進制中通常要求至少一個且少於兩個。數字中可以做出的最小變化（在下面討論的某些例外情況下）是將最後一位數字f修改爲1.例如，如果f限制爲六個二進制數字，則其值爲1.00000到1.11111，可以做的最小變化是0.00001。給定指數e，則0.00001中的變化0.00001改變由0.00001·2 ^e表示的值。這是最低精度單位（ULP）

請注意，ULP根據指數而變化。

我提到的例外發生在最大的可表示的有限值（其中數字只能通過產生無窮大來增加），最小的（最負的）可表示的有限值，零和低於正常的數字與分數和指數）以及指數變化的邊界。在這些邊界處，您正在減小指數，這意味着最低有效位的數值減少，所以該步驟實際上是舊的ULP的1/2。

當計算僅受浮點系統可以表示的數字限制時，則結果中的最大錯誤爲ULP的1/2。這是因爲，如果您的數學精確結果超過ULP的1/2，則可以將計算結果更改爲1 ULP，以使其誤差在幅度上減小。 （例如，如果確切的結果是3。75，從3更改爲4將誤差從0.75更改爲0.25）

基本算術運算（如加法，乘法和除法）應提供四捨五入到最接近的可表示結果的結果，最多隻有一個ULP。平方根也應該這樣實施。數學庫函數（如餘弦和對數）的目標是提供良好的舍入，但很難得到正確的舍入，所以商業圖書館通常不能保證正確舍入。從十進制

換算（例如，在ASCII文本）到內部浮點格式應該被正確的舍入，而不是全部的軟件庫或語言實現正確地做到這一點。

複合操作（例如執行許多計算以獲得結果的子例程）將具有許多舍入誤差，並且通常不會返回在數學上精確結果的ULP範圍內的結果。

請注意，這不是技術上是正確的零碎時說，誤差的大小正比於存儲的號碼的大小。在錯誤的勢必大致比例，我們可以說½ULP是一個綁定上的錯誤，以及ULP大致是成正比的數量。它只是大致成比例，因爲它的變化因數爲2（當使用二進制時），因爲分數範圍從1到2。例如，1和1.9375具有相同的ULP，因爲它們使用相同的指數，但ULP比1的1.9375更大。

，只有在錯誤的邊界大致成正比。實際的錯誤取決於涉及的數字。例如，如果我們加1和1，我們得到2沒有錯誤。