x的最優值得到最平滑的曲線f（x）給定N個點

Question

假設我有一個函數y = x^2，並且允許在-1和1之間繪製10個點。我選擇擁有最平滑的曲線？

有沒有一個標準的方法來做到這一點？顯然你會有更多的點在x = 0附近。我猜我需要考慮這裏的二階導數。

Answer 1

更確切地說，您需要考慮曲線的曲率。因爲我們需要二階導數來計算曲率，所以你對'考慮二階導數'的說法是正確的。

對於你的曲線Y = X^2，曲率是

2 
----------- 
(1+4x^2)^1.5 

這意味着該曲率在x = 0.0達到其最大值2.0，並且將變得更小| X |變得更大。所以，你需要在x = 0.0附近有更多的點。根據我的經驗，如果您能夠沿曲線對點進行採樣，以便它們在每兩點之間具有相等的弧長，則生成的折線將與原始曲線很好地近似。但是，我不確定它是否會成爲'最流暢'的。