求解矩陣方程在MATLAB

Question

我有所述類型的方程c = Ax + By

c其中，x和y是維度矢量說50000 X 1，和A和B與尺寸50000 X 50000矩陣。

是否有在Matlab任何方式找到矩陣A和B時c，x和y已知？

我有大約100,000個樣本c,x和y。 A和B保持不變。

剛接觸Matlab，請幫忙。

Answer 1

設X是所有10萬x是你得到了集合（這樣的X的i列處等於x_i個向量）。
以同樣的方式，我們可以將Y和C分別定義爲ys和cs的2D集合。

你想什麼來解決是A和B這樣

C = AX + BY 

你有2·50,000^2未知（的A和B所有條目）和numel(C)方程。因此，如果數據向量的數量是100,000，那麼你有一個解決方案（直到取決於線性的樣本）。如果您有超過10萬個樣本，您可以尋求最小二乘法解決方案。

重新書寫：

C = [A B] * [X ; Y] ==> [X' Y'] * [A';B'] = C' 

所以，我認爲

[A' ; B'] = pinv([X' Y']) * C' 

在MATLAB：

ABt = pinv([X' Y']) * C'; 
A = ABt(1:50000,:)'; 
B = ABt(50001:end,:)'; 

糾正我，如果我錯了......

編輯：
這裏似乎有一個關於維度的大驚小怪。所以，我會盡量讓它儘可能清楚。

型號：有兩種（未知）矩陣A和B，每個尺寸50,000x50,000（總5E9未知）的。
的觀察是矢量的三重態：（x，y，c）每個這樣的載體具有50000層的元件（總共爲150,000觀測點在每個樣品）。潛在的模型假設是在該模型中通過c = Ax + By產生觀察。
任務：給出n觀測（即矢量 {（x_i，y_i，c_i）} _ i=1..n的n三胞胎）任務是揭示A和B。現在

，將各樣品（x_i，y_i，c_i）誘導在未知A和B 50000個方程形式c_i = Ax_i + By_i的。 如果樣本數量n是大於大於100,000，則有超過50,000 * 100,000（> 5e9）個方程式，系統是超過約束條件。

要編寫系統以矩陣形式我提出的所有觀察到堆疊矩陣：

• 矩陣尺寸的X 50000 X n以其i第柱等於觀察x_i
• 矩陣Y的大小爲50,000 x n，其i第列等於觀察到的y_i
• 矩陣C的大小爲50,000 x n其i列處等於觀察c_i

有了這些矩陣，我們可以寫出模型：

C = A * X + B * Y

我希望這將清除的東西了一點點。

謝謝@丹和@woodchips爲您的興趣和啓發性評論。

EDIT（2）：
提交下面的代碼來octave。在這個例子中，而不是50000尺寸我只有2個工作，而不是n=100,000觀察我定居n=100：

n = 100; 
A = rand(2,2); 
B = rand(2,2); 
X = rand(2,n); 
Y = rand(2,n); 
C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations 
ABt = pinv([ X' Y']) * C'; 

檢查地面實況模型（A和B）之間的差額，回收ABt：

ABt - [A' ; B'] 

產量

ans = 

    5.8457e-05 3.0483e-04 
    1.1023e-04 6.1842e-05 
    -1.2277e-04 -3.2866e-04 
    -3.1930e-05 -5.2149e-05 

這是接近足夠牛逼零。 （請記住，觀察結果是嘈雜的，解決方案是最小方案）。