機器精度估計

Question

有人說，雙精度浮點數的機器epsilon是2^-53，其他（更常見）是2^-52。我使用除了1之外的整數和從上面和下面（在matlab中）進行估計來估計機器精度，並且已經得到兩個值作爲結果。爲什麼這兩種價值觀都可以在實踐中觀察到？我認爲它應該總是在2^-52左右產生一個epsilon。

Answer 1

關於術語「機器epsilon」有一個固有的含糊不清，所以要解決這個問題，它通常被定義爲1和下一個更大的可表示數字之間的差異。 （這個數字實際上（並非偶然）通過將二進制表示字面遞增1而獲得）。

IEEE754 64位浮點數具有52個明確的尾數位，所以53包括隱含的前導符號1。因此，兩者的連續編號：

1.0000 ..... 0000 
1.0000 ..... 0001 
    \-- 52 digits --/ 

所以介乎兩者的差爲2 ^-52。

Answer 2

這取決於你繞過哪條路。

1 + 2^-53恰好在1和1 + 2^-52之間，它們在雙精度浮點上是連續的。所以如果你把它四捨五入，它不同於1;如果你把它舍入下去，它等於1.

Answer 3

有實際的「機器精度」兩個定義哪個音質上乍一看頗爲相同，但都沒有，因爲他們產生不同的值，爲「機器最小」：

1. 該機小量是最小浮點數eps1，例如1.0 + x > 1.0。
2. 機器epsilon是差異eps2 = x - 1.0其中x是x > 1.0中最小的可表示浮點數。

嚴格從數學上講，定義是等價的，即eps1 == eps2，但我們不是在這裏談論實的數字，但對浮點數。這意味着隱含舍入和取消，這意味着，近似地，eps2 == 2 * eps2（至少在使用IEEE-754浮點數的最常見架構中）。

詳細地說，如果我們讓一些x從0.0去一些點1.0 + x > 1.0，在x == eps1達到（定義1）這一點。但是，由於綜合，1.0 + eps1的結果是而不是1.0 + eps1，但下一個可表示的浮點值大於比1.0 - 即eps2（定義2）。因此，在本質上，

eps2 == (1.0 + eps1) - 1.0 

（數學家都擔心這個。）並且由於四捨五入的行爲，這意味着

eps2 == eps1 * 2 (approximatively) 

這就是爲什麼有「機器小量」兩個定義，既合法又正確。個人而言，我發現eps2更「健壯」的定義，因爲它不取決於實際的舍入行爲，只取決於表示，但我不會說它比其他更正確。像往常一樣，這一切都取決於上下文。在談論「機器epsilon」以避免混淆和錯誤時，請清楚您使用的定義。