在極座標變換的雅可比行列式中的Sympy抵消術語

Question

我正在準備雅可比例式是如何使用極座標/笛卡爾參數化變換的例子。我的問題是雙重的。首先，我想知道如何強制sympy取消替換後的條款。 兩個矩陣是：

J1 = Matrix([[(r*cos(theta)).diff(r), (r*cos(theta)).diff(theta)],[(r*sin(theta)).diff(r),(r*sin(theta)).diff(theta)]]) 
J2 = Matrix([[((x**2+y**2)**(1/2.)).diff(x),((x**2+y**2)**(1/2.)).diff(y)],[atan(y/x).diff(x),atan(y/x).diff(y)]]) 
#substitute for x,y to have same variables for J1 and J2 
J2 = trigsimp(J2.subs({x:r*cos(theta), y:r*sin(theta)})) 
J2 

我預期使用取消（），或甚至evalf（）將除去R /（R^2）^ 1/2 = 1術語，但它沒有。第二，如何或可以要求sympy識別簡單的身份，在這種情況下，sin^2 + cos^2 = 1？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？這使得結果是來自J1 * J2的評估單位矩陣。

這工作，按照文件：

simplify(r/(r**2)**(1/2)*(sin(theta)**2+cos(theta)**2)) 

這相當於（ISH）方程沒有。

J = J1*J2 
simplify(J[0,0]) 

看來第二個錯誤是第一個錯誤的結果。

Answer 1

在數學上，r /（r^2）^ 1/2 = 1並不總是成立。如果r是一個非負數，它在極座標中，這是真的。所以，你應該告訴SymPy這樣的：

r = Symbol('r', nonnegative=True) 
theta, x, y = symbols('theta x y') 

（數學上，你甚至可以假設[R嚴格爲正，positive=True，因爲在原點在極座標衍生物不反正工作。）

輸出將是更令人愉快：[[1.0*cos(theta), 1.0*sin(theta)], [-sin(theta)/r, cos(theta)/r]]

只有這個1.0是煩人的，它從哪裏來？它來自1/2。作爲一個浮點數而不是有理數。使用Rational(1, 2)在指數中有一個有理數（重要的是爲了簡化）。在這種情況下，指數爲1/2，使用sqrt更自然，它具有使指數合理且易於輸入的相同效果。

sqrt(x**2+y**2).diff(x) 

最終的結果是[[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta)/r, cos(theta)/r]]

至於三角函數簡化，trigsimp(J1*J2)確實返回單位矩陣。