爲什麼'pure'只適用於Applicative，而不是Functor？

Question

讀this Wikibook about Haskell and Category Theory basics，我瞭解函子：

函子基本上是類別之間的變換，所以給定的 類別C和d，函子F：Ç - > d

映射任何對象A在C至F（A），在D.

地圖態射F：A - >中的B C至F（F）：F（A） - > F（B）在D

。 ..聽起來很好。後來一個例子提供：

讓我們樣本的實例，也：

instance Functor Maybe where 
    fmap f (Just x) = Just (f x) 
    fmap _ Nothing = Nothing 

這裏的關鍵部分：類型構造可能採取任何類型T的 新的類型，也許T.另外，fmap限制​​爲Maybe類型需要一個 函數a - > b函數Maybe a - > Maybe b。但就是這樣！我們有 定義了兩部分，一部分將Hask中的對象帶到 的另一個類別（也許類型和函數定義在Maybe 類型中）中的對象，以及一些在Hask中將態射投射到 這個類別中的態射。所以也許是一個仿函數。

我明白fmap的定義是如何定義的。我對「類型構造函數Maybe」如何提供第一部分感到困惑。我寧願預期像pure。

如果我弄清楚了，Maybe寧願地圖C到D。 （因此是一個類別級別的態射，這可能是一個Functor的要求）

我想你可以改變我的問題是這樣的：有沒有一個Functor，沒有明顯的執行pure？

Answer 1

我認爲您會在類型和值之間感到困惑。這裏有一個仿函數的定義：

讓Ç和d是categories。甲算符˚F從Ç到d是一個映射的是：

• 關聯的每個對象X∈C對象F（X）∈d。

• 關聯到每個態射F：X→Y∈C一個態射F（F）：F（X）→F（Y）∈d使得下列條件成立：

  • F（id：X→X）= id：F（X）→F（X）對於每個對象X∈C。
  • F（克∘F）= F（G）∘F（F）所有態射F：X→Y和克：Y→Z。

甲類別由對象之間的對象和態射的。

Haskell中的所有代碼是Hask（Haskell類別的一部分）。在哈斯克：

1. 類型是對象。
2. 函數是類型之間的態射。

因此，Haskell中的所有Functor實例都是從Hask到Hask的函數（即它們是endofunctors）。

說得更加嚴格，在哈斯克爾Functor所有實例：

1. C = Hask。
2. D = Hask。現在

，每個算符˚F是一個映射締合到每個對象X∈C對象F（X）∈d。

1. 注意X和F（X）是的Ç和分別d對象。
2. 由於兩個Ç和d是Hask，二者X和F（X）是類型和不值。
3. 因此，F：類型→類型或在Haskell f : * -> *。

實際上，這是在Functor型類是如何精確在Haskell定義：

class Functor (f : * -> *) where 
    fmap :: (x -> y) -> (f x -> f y) 

這裏，fmap是仿函數的第二部分。這是一個從值到值的函數。然而，Functor本身是一個類型構造函數（即從類型到類型的映射）。這就是Maybe是仿函數，[]是仿函數，但Maybe Int和[Int]不是仿函數。

注意pure不形成仿函數定義的第一部分，因爲它是從X一個實例的F（X）（即它是從值的值的函數）一個實例的映射。然而，我們需要從X到F（X）（即從類型到類型的映射）的映射。

Answer 2

我想說的是Applicative例如那種成爲Either伸展（我會是隻具有Bifunctor實例完全正常，但在使用它作爲一個單子另一方面是方便），並會（恕我直言）不適合類似於：

data ABC a = A a | B a | C a 

其中A，B，C全部「同樣可以」。由於pure沒有明顯的選擇，所以不應該提供它。雖然fmap仍然非常好。

Answer 3

類別Hask具有類型作爲對象和函數的箭頭，所以由Functor實例提供的對象映射必須將類型映射到類型。

fmap將箭頭即地圖功能a -> b映射到函子f的函數f a -> f b。 Functor類型的構造函數是對象之間的映射，即類型之間的映射。

例如，Maybe型構造函數將類型t映射到類型Maybe t例如， String至Maybe String。

相比之下，pure將某些基礎類型的值映射到相應應用類型的值，例如， 「abc」和（Just「abc」）的值分別爲String和Maybe String。

Answer 4

如果我得到它的權利，Maybe而映射到CD。 （從而是在類別級別態射，這可能是一個仿函數的要求）

不是真的，因爲C和D有類別，而不是Haskell的類型。 A Functor（即類型類的實例，與通常的函子相反）是從Hask類別（Haskell類型和函數的類別）到Hask本身的映射;即在這種情況下，C和D都是哈斯克。 Wikibook章節提到在Hask中的部分函數。在示例中，Maybe類型構造花一些類型a（一個對象在Hask）的類型Maybe a（在另一個目的Hask）提供所述映射的所述第一部分。

我想你可以改寫像這樣我的問題：是否有Functor不具有明顯的實施pure？

一個例子是這對Functor,(,) a。 fmap很容易寫 - \f (x, y) -> (x, f y) - 但pure和(<*>)需要約束a，因爲否則將無法處理額外的a值。有關更多討論和其他示例，請參閱Good examples of Not a Functor/Functor/Applicative/Monad?