找到最小距離

Question

我需要在給定的圓（或曲線）上找到一個或多個最小化d0 + d1的點？曲線的半徑和中心分別是（0,0）和'r'，點A和B的座標是已知的。假設A =（x1，y1），B =（x1，-y1），r> sqrt（x1^2 + y1^2）。 C是應儘量減少長度D0 + D1 D0的圓的未知點 - 至C上的圓

點C沿圓移動圓 D1-到C B之間的距離A之間的距離。我需要在給定的圓（或曲線）上找到一個或多個最小化d0 + d1的點？

Answer 1

一般情況下是非常複雜的第一種情況，但特殊情況

A=(x1,y1)和B=(x1,-y1)和r > sqrt(x1^2+y1^2)

與圓，圓心起源具有足夠的對稱性，至少在某些情況下可以獲得解決方案。我假設A ≠ B（等同於y1 ≠ 0），否則這個問題對於一個圓圈來說是微不足道的。

讓dist(P,Q)爲點P和Q之間的歐幾里得距離。的（閉合）線段連接A和B是點P與

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B) 

軌跡對於D > dist(A,B)，點與

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D 

軌跡爲橢圓形E(D)其焦點是A和B。讓P成爲圓上的一個點，並且D = f(P)。

• 如果在點P的切線與圓和橢圓E(D)不重合，P既不是局部最小值，也不是一個局部最大值的f限制於圓形。
• 如果切線重合，且圓的曲率大於P中的E(D)的曲率，那麼P是侷限於圓的局部最大值f。
• 如果切線重合，並且圓的曲率小於P中的E(D)的曲率，那麼P是侷限於圓的局部最小值f。
• 如果切線一致，並且該圓的曲率等於E(D)在P曲率，然後
  • P是f分離的局部最小值限制爲圓如果dist(P,A) = dist(P,B)，
  • P既不是本地最大值或局部最小值f，否則限制在該圈內。

首先，如果x1 = 0，很容易看到（如果它不是幾何上明顯），該圓上的最小化f的點是與x座標0，即P1 = (0,r)和P2 = (0,-r)的點。 [如果r² ≤ x1² + y1²，那甚至是對的。]

現在，假設x1 ≠ 0，不失一般性x1 > 0。那麼很明顯，最小化爲f的圓上的點P = (x,y)必須具有x > x1。根據情況的對稱性，點R = (r,0)必須是局部最小值或侷限於圓的局部最大值f。

計算f附近R的行爲，你會發現R是局部最小當且僅當

r ≥ (x1² + y1²)/x1 

由於R是E(f(R))最小曲率（和R到E(f(R))切線和點圓一致），那麼R也是全球最小值。

如果是r < (x1² + y1²)/x1，那麼R是侷限於圓的局部最大值f。然後f在圓上有兩個全局最小值，具有相同的x座標。不幸的是，我沒有一個很好的公式來計算它們，所以我不能提供比迭代搜索更好的方法。

Answer 2

如果直線AB與圓相交，那麼C就是該交點（注意可以有兩個交點並且兩者的距離相等，都爲d0+d1！）。

如果AB不相交的圓，則C是在圓相交從上線AB最接近圓中心的點的假想線的點。

有很多文章在網上如何找到另一點最接近的一條線的點，以及如何找到兩條線之間的交叉點，這將解決第二種情況。因爲你可以google「行圈交匯」