距離（最短）

Question

所以我讀了一些這個頁面上（http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html）

筆者提到

d = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal); 

其中VP1是在平面上的點和vNormal是正常的到飛機。我很好奇這是怎麼讓你從世界起源的距離，因爲結果將始終是0.此外，只是要清楚（因爲我仍然是在平面方程的d部分朦朧），在平面方程中，d是從通過世界起源的直線到飛機起源的距離嗎？

Answer 1

在通用的情況下的點p和一個平面之間的距離可以通過

<p - p0, normal> 

其中<a, b>計算是點積操作

<a, b> = ax*bx + ay*by + az*bz 

並且其中p0是在一個點平面。

當n是統一長度的矢量之間的點積，它是矢量的對正常

公式您所報告的突起的（有符號的）長度僅僅是特殊情況下點p是原點。在這種情況下

distance = <origin - p0, normal> = - <p0, normal> 

這種平等是正式錯誤的，因爲點積約矢量，沒有點...但仍持有數字。寫下明確的公式你得到

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z 

相同

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z) 

確實是一個很好的方式來存儲一個平面，以節省正常n和k = <p0, n>的值，其中p0任何點在飛機上（k的值與您選擇飛機的哪個點無關）。

Answer 2

你可以用拉格朗日乘子法來解決這一問題：

你知道飛機上的最近點必須是這樣的形式：

c = p + v 

哪裏c是最近點與v是一個向量沿着飛機（因此與正常的n正交）。您正在嘗試尋找具有最小范數（或範數平方）的c。因此，您正試圖最小化dot(c,c)，但v與n正交（因此dot(v,n) = 0）。

因此，設置拉格朗日：

L = dot(c,c) + lambda * (dot(v,n)) 
L = dot(p+v,p+v) + lambda * (dot(v,n)) 
L = dot(p,p) + 2*dot(p,v) + dot(v,v) * lambda * (dot(v,n)) 

並採取相對於所述衍生物v（和設置爲0）來獲得：

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0 

可以由以下等式在求解拉姆達以上由點生產雙方n得到

2 * dot(p,n) + 2 * dot(v,n) + lambda * dot(n,n) = 0 
2 * dot(p,n) + lambda = 0 
lambda = - 2 * dot(p,n) 

再次請注意，dot(n,n) = 1和dot(v,n) = 0（因爲v在平面中，並且n與其正交）。然後subtitute lambda早在獲得：

2 * p + 2 * v - 2 * dot(p,n) * n = 0 

和解決v獲得：

v = dot(p,n) * n - p 

，接着再將這回c = p + v獲得：

c = dot(p,n) * n 

這個向量的長度是|dot(p,n)|並且符號告訴您該點是否在從原點開始的法向矢量的方向上，還是與第e起源。

Answer 3

結果並不總是爲零。如果飛機經過原點，結果只會爲零。 （這裏我們假設飛機沒有穿過原點。）

基本上，您會得到一條從原點到飛機上某點的直線。 （即，你有一個從原點到vP1的矢量）。這個矢量的問題在於，它很可能是傾斜的，並且會飛到飛機上很遠的地方，而不是飛機上的最近點。所以，如果你只是把vP1的長度，你會得到一個太大的距離。

你需要做的是將vP1投影到某個你知道垂直於平面的矢量上。那當然是vNormal。因此，取vP1和vNormal的點積，再除以vNormal的長度，就得到了答案。 （如果他們友善地給你一個已經是一級的vNormal，那麼不需要劃分）。