使用Cairo繪製夾緊的均勻三次B樣條

Question

我有一堆座標，它們是2D平面上夾緊的均勻三次B樣條的控制點。我想用Cairo調用（使用Python，使用Cairo的Python綁定）來繪製這條曲線，但據我所知，Cairo只支持Bézier曲線。我也知道兩個控制點之間的B樣條的線段可以用Bézier曲線繪製，但我無法在任何地方找到確切的公式。給定控制點的座標，我怎樣才能推導出相應的貝塞爾曲線的控制點？有沒有任何有效的算法？

Answer 1

好吧，所以我用Google搜索了很多，我想我想出了一個適合我的目的的合理解決方案。我在這裏發佈 - 也許這對其他人也有用。

首先，讓我們從一個簡單的Point類：

from collections import namedtuple 

class Point(namedtuple("Point", "x y")): 
    __slots__ =() 

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5): 
     return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \ 
        y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio)) 

三次B樣條無非是Point對象的集合更多：

class CubicBSpline(object): 
    __slots__ = ("points",) 

    def __init__(self, points): 
     self.points = [Point(*coords) for coords in points] 

現在，假設我們有一個打開均勻的立方B樣條而不是夾緊的樣條。一個三次B樣條的四個連續控制點定義了一個單獨的Bézier分段，所以控制點0到3定義了第一個Bézier分段，控制點1到4定義了第二個分段，依此類推。 Bézier樣條的控制點可以通過以適當方式在B樣條的控制點之間線性插值來確定。設A，B，C和D是B樣條的四個控制點。計算以下輔助點：

1. 找到以2：1的比例劃分A-B線的點，讓它成爲A'。
2. 找到以1：2的比例劃分C-D線的點，讓它成爲D'。
3. 鴻溝BC線分成三個相等的部分，讓這兩個點是F和G
4. 查找A之間的中間點」和F，這將是E.
5. 查找G和d之間的中間點'，這將是H.

從E到H的控制點F和G的Bézier曲線相當於點A，B，C和D之間的開放B樣條。請參閱第1-5節this excellent document。順便說一下，上述方法被稱爲Böhm算法，如果以一種適用於非均勻或非三次B樣條的適當數學方法進行表達，它會複雜得多。

對於B樣條的4個連續點的每組，我們必須重複上述過程，因此最終我們將需要幾乎任何連續控制點對之間的1：2和2：1分割點。這就是下面BSplineDrawer類繪製曲線之前所做的：

class BSplineDrawer(object): 
    def __init__(self, context): 
     self.ctx = context 

    def draw(self, bspline): 
     pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:]) 
     one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs) 
     two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs) 

     coords = [None] * 6 
     for i in xrange(len(bspline.points) - 3): 
      start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1]) 
      coords[0:2] = one_thirds[i+1] 
      coords[2:4] = two_thirds[i+1] 
      coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2]) 

      self.context.move_to(*start) 
      self.context.curve_to(*coords) 
      self.context.stroke() 

最後，如果我們要畫夾B樣條，而不是開放的B樣條曲線，我們只需要重複夾緊的兩個端點B-花鍵三次：

class CubicBSpline(object): 
    [...] 
    def clamped(self): 
     new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3 
     return CubicBSpline(new_points) 

最後，這是怎樣的代碼應該使用：

import cairo 

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400) 
ctx = cairo.Context(surface) 

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)] 
spline = CubicBSpline(points).clamped() 

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.) 
ctx.set_line_width(5) 
BSplineDrawer(ctx).draw(spline) 

Answer 2

請問Converting B-spline curve to Bezier spline curve有幫助嗎？