FFTW和fft與MatLab

我有一個奇怪的問題與離散fft。我知道高斯函數exp（-x^2/2）的傅里葉變換又是相同的高斯函數exp（-k^2/2）。我試圖用MatLab和FFTW中的一些簡單代碼來測試，但我得到了奇怪的結果。FFTW和fft與MatLab

首先，結果的虛部不是零（在MatLab中），因爲它應該是。

其次，實部的絕對值是高斯曲線，但沒有絕對值的一半的模式具有負係數。更確切地說，每個第二模式都有一個係數，它是應該是負數的係數。第三，得到的高斯曲線的峯值（在取實部的絕對值之後）不是一而是高得多。其高度與x軸上的點數成正比。但是，比例因子不是1，但接近1/20。

任何人都可以解釋我做錯了什麼？

這裏是MATLAB代碼，我用：

function [nooutput,M] = fourier_test 

    Nx = 512;  % number of points in x direction 

    Lx = 50;  % width of the window containing the Gauss curve 

    x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);  % creating an equidistant grid on the x-axis 

    input_1d = exp(-x.^2/2);     % Gauss function as an input 
    input_1d_hat = fft(input_1d);   % computing the discrete FFT 
    input_1d_hat = fftshift(input_1d_hat); % ordering the modes such that the peak is centred 

    plot(real(input_1d_hat), '-') 
    hold on 
    plot(imag(input_1d_hat), 'r-')

來源

2013-10-10 Fortran_user

您可能將* continuous * FT與* discrete * FT混合在一起。高斯的連續FT是高斯函數，但我不確定DFT（FFT）是如此。 –

當然，離散性使得事物不精確，但離散FT被創建爲連續FT的近似值。當點數和間隔足夠大時，這裏就是這種情況，近似值應該是好的。會有一些偏差，但他們絕對不應該那麼大，如此係統。另外，當我增加Nx和Lx時，結果不會改變，這意味着收斂是可以實現的。 –

我認爲在你的DFT情況下可能會出現一個隱含的時間偏移，這就意味着頻域的相位旋轉 - 我認爲幅度是正確的，相位是一條直線（如果你是模2π不解開它，即鋸齒）。 –

答案基本上是保羅 - [R表明在他的第二個意見，你介紹的相移（線性依賴於頻率），因爲中心由input_1d_hat描述的高斯實際上在k>0，其中k+1是input_1d_hat的索引。相反，如果你Center的資料（這樣input_1d_hat(1)對應中心）如下你在頻域中的相位校正高斯：

Nx = 512;  % number of points in x direction 
    Lx = 50;  % width of the window containing the Gauss curve 

    x = linspace(-Lx/2,Lx/2,Nx);  % creating an equidistant grid on the x-axis 

    %%%%%%%%%%%%%%%% 
    x=fftshift(x); % <-- center 
    %%%%%%%%%%%%%%%% 

    input_1d = exp(-x.^2/2);     % Gauss function as an input 
    input_1d_hat = fft(input_1d);   % computing the discrete FFT 
    input_1d_hat = fftshift(input_1d_hat); % ordering the modes such that the peak is centered 

    plot(real(input_1d_hat), '-') 
    hold on 
    plot(imag(input_1d_hat), 'r-')

從DFT的定義，如果高斯不集中等那最大值發生在k=0，你會看到相位扭曲。 fftshift的效果是執行數據集左側和右側的循環移位或交換，這相當於將峯的中心移至k=0。

至於幅度縮放，這是在Matlab中實現的DFT的定義的問題。從對FFT的文檔：

For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, 
with elements 
       N 
    X(k) =  sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N. 
       n=1 
The inverse DFT (computed by IFFT) is given by 
       N 
    x(n) = (1/N) sum X(k)*exp(j*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. 
       k=1

注意的是，在向前邁進了一步的總和不由N.標準化因此如果增加點Nx的數量的總和，同時保持寬度高斯函數常數的Lx，您將按比例增加X(k)。

至於信號泄漏到假想頻率維度，也就是說是由於DFT，這導致截斷和其它效果的離散形式，如再由Paul R.注意到如果減少Lx同時保持恆定Nx，你應該看到在虛擬維數相對於的信號量減少到實際維度（比較光譜，同時保持實際維度中的峯值強度相等）。

你會發現類似問題的其他答案here和here。

來源

2013-10-10 14:46:59

謝謝你的提示。但是，我仍然不明白爲什麼我應該用fftshift來更改x陣列。你能詳細解釋一下嗎？我認爲這是通過在輸出上做fftshift來提供的。爲什麼我的版本中的高斯有效地以x> 0爲中心？ –

你對我有其他兩個問題的原因有什麼想法嗎？我實施你的解決方案。它修復了輸出兩部分的振盪，但虛部仍然不爲零。而且，當我改變點數Nx時，它保持不變，而實部的峯值與Nx成比例變化。任何想法爲什麼這是這樣的？ –

任何想法如何解決與FFTW使用C++時的問題？在那裏，我得到了同樣令人討厭的震盪。你能給出關於這個問題的數學工具參考嗎？我沒有看到關於fft例程解釋頁面上的評論。 –

FFTW和fft與MatLab

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