將頂點變換爲頂點着色器中的視圖空間

Question

當我們要在頂點着色器中計算光時，我們需要視圖空間中的法向量。一般來說，它看起來如下（從OpenGL Superbible 5th開始）：

// normalMatrix is retrieved from GLMatrixStack modelViewMatrix 
vec3 vEyeNormal = normalMatrix * vNormal 

我想在不使用GLT庫的情況下編寫程序。在另一個源（http://en.wikibooks.org/wiki/GLSL_Programming/GLUT/Diffuse_Reflection）我發現下面的公式：

vec3 normalDirection = normalize(m_3x3_inv_transp * v_normal); 

可變m_3x3_inv_transp計算如下：

glm::mat3 m_3x3_inv_transp = glm::transpose(glm::inverse(glm::mat3(mesh.object2world))); 

我意識到：

• 普通矩陣是僅旋轉分量因爲 法向量的翻譯是不可接受的。
• 秩序的OpenGL操作是Scalng，平移，旋轉 （Opengl order of matrix transformations）
• 反演矩陣是撤消上次的變換 （http://tomdalling.com/blog/modern-opengl/04-cameras-vectors-and-input/）

我的問題是，爲什麼反演和transponsing矩陣後，我得到NormalMatrix以及如何檢查它與逆向計算？基於對3D遊戲編程和計算機圖形（由埃裏克·倫蓋爾）數學第66頁

Answer 1

你的假設並不完全正確。

OpenGL操作順序是Scalng，翻譯，旋轉。

不，一般來說，你可以有一個任意的世界矩陣。這可以包括任何數量的操作。

逆矩陣是撤消上次變換。

否。如果反轉矩陣，則會恢復其整個效果。例如。如果您有一個矩陣圍繞x軸旋轉45°並且由（1,2,3）進行平移，則其反轉將導致（-1，-2，-3）平移，接下來是 - 圍繞x軸45°。

正常矩陣只是模型視圖矩陣的旋轉分量。

不是。如果是這種情況，那麼您可以放棄矩陣的翻譯（以及任何視角）部分。但事實並非如此。

正常矩陣用於轉換法線，以便它們仍然與相應的曲面正交。對於剛體轉換（即旋轉和平移），您可以直接使用世界變換。其中一個原因是你可以通過轉置旋轉矩陣來反轉（因爲它是正交的）。然後你有transpose(transpose(world))這是原始矩陣。

對於一般矩陣，您必須按照您所述計算矩陣。想象一下按（1，2）進行縮放。如果你轉換一個圓圈，它將變成一個橢圓。我們來看看45°的正常值。在這個位置的圓的正常值是（1,1）（未標準化）。如果我們用標度矩陣轉換這個法線，我們可以得到（1，2）。如果你想象轉換後的橢圓，你會發現法線不再與表面正交。所以你必須使用一個不同的變換（在這種情況下，按（1，0.5）進行縮放），這保留了正交性。

Answer 2

答：

切線T和正常N在表面上的特定點必須是垂直的，所以：

N . T = 0 

假設我們使用矩陣M轉換表面。在轉化上的點的切線是：

T' = MT 

我們希望找到一個矩陣G這樣N' = GN是在轉化表面上的點的法線。由於正常的和切線在轉化上的點仍然必須是垂直的，我們有：

0 = N' . T' = (GN) . (MT) = trans(GN) * MT = trans(N) * trans(G) * MT 

現在：

trans(N) * T = N . T = 0 

所以上面會滿意，如果：

trans(G) * M = I 

哪裏：

G = trans(inv(M)) 

換句話說，轉換法線所需的矩陣是用於轉換切線的矩陣的逆矩陣的轉置。