矩陣求逆或Cholesky？

Question

我開發一種解決斧 = b，其中甲和b是已知的算法。

有兩種方法可以做到這X = 甲^-1b或通過使用Cholesky。我知道矩陣總是正方形和正確的，儘管det（A）可能爲零。在那些罕見的情況下，我可以忽略它。但是從計算的角度和效率來看，創建一個逆矩陣效率太低了？

Answer 1

一般來說，你總是想用解算器;實際求解器的運行速度應快於乘以逆運算。與進行分解相比，計算逆矩陣不僅效率低，而且使用逆矩陣具有分解/求解器方法避免的精度問題。

如果您有對稱矩陣，則Cholesky decomposition是合理的選擇。密切相關的LDL decomposition具有可比較的精度，同時也避免了平方根的需要。

如果您的矩陣不對稱，則不能使用Cholesky或LDL分解 - 請改爲使用LU decomposition方法。

Answer 2

對於大型矩陣，是的，反過來是非常低效的。然而，諸如矩陣的下三角的特殊屬性使得反演更容易計算。

在數值分析中，Ax = b的最典型解法是A（LUx = b）的LU分解，然後求解Ly = b代表y，Ux = y代表x。

對於更穩定的方法，考慮使用QR分解，其中Q具有Q^T * Q = I的特殊性質，所以Rx = Q^Tb其中R是上三角形（只有一個back用LU前進和後退解決）。

其他特殊屬性，如矩陣對稱（Cholesky）或帶狀（Gauss）使得某些解算器比另一個更好。

一如既往地注意到floating point錯誤在您的計算中。

我可以補充說，迭代求解器也是一種解決系統的流行方法。 Conguate梯度法是最常用的，適用於稀疏矩陣。 Jacobi和Gauss-Seidel適用於對角佔優並且稀疏的矩陣。