什麼數學方法適用於插值2d到2d函數？

Question

因此，我們有像

12,32 
24,12 
... 

與長度2×N個和另一個

44,32 
44,19 
... 

與長度2×N個的矩陣，並且存在返回z [1]，Z [一些函數f（x，y）的2]。我們給出的2個矩陣表示x，y和z [1]，z [2]的已知值對。什麼是插值公式，這將有助於在這種情況下？

Answer 1

如果你解決了一個返回值的問題，你可以通過插值找到兩個函數f_1(x,y)和f_2(x,y)，並將你的函數編寫爲f(x, y) = [f_1(x,y), f_2(x,y)]。只需選擇任何方法來解決適合您問題的插值函數。

對於二維實際插值問題，有很多方法可以處理這個問題。如果您需要簡單，您可以使用線性插值。如果您可以使用分段函數，則可以使用貝塞爾曲線或樣條曲線。或者，如果數據是統一的，你可以用一個簡單的多項式插值（當然，在2D中不是很平凡，但很簡單）就可以避開。

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編輯：更多信息和一些鏈接。

分段解決方案可以使用Bilinear interpolation (wikipedia)。對於多項式插值，如果您的數據位於網格上，則可以使用以下算法（我無法找到它的引用，它來自內存）。

如果數據點上k通過l格，重寫你的多項式如下：

f(x,y) = cx_1(x)*y^(k-1) + cx_2(x)*y^(k-2) + ... + cx_k(x) 

在這裏，每個係數cx_i(x)也是l的多項式。第一步是通過內插網格的每一行或一列來找到程度爲l的k多項式。當做到這一點，你必須l係數集（或者，換句話說，l多項式）作爲插值點，每個cx_i(x)多項式爲cx_i(x0)，cx_i(x1)，...，cx_i(xl)（給你一個總的L * k個點）。現在，您可以使用上述常數確定這些多項式作爲插值點，它們會給出結果f(x,y)。

對貝塞爾曲線或樣條曲線使用相同的方法。唯一的區別是您使用控制點而不是多項式係數。你首先得到一組將產生你的數據點的樣條曲線，然後你插入這些中間曲線的控制點來獲得曲面曲線的控制點。

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讓我來添加一個例子來闡明上面的算法。我們有以下數據點：

0,0 => 1 
0,1 => 2 
1,0 => 3 
1,1 => 4 

我們開始通過擬合兩個多項式：一個用於數據點（0,0）和（0,1），而另一個爲（1,0）和（1,1 ）：

f_0(x) = x + 1 
f_1(x) = x + 3 

現在，我們插在另一個方向來確定我們垂直閱讀這些多項式係數coefficients.When，我們需要兩個多項式。在0和1都評估爲1;而另一種計算結果爲1 0和3在1：

cy_1(y) = 1 
cy_2(y) = 2*y + 1 

如果我們結合到這些f(x,y)，我們得到：

f(x,y) = cy_1(y)*x + cy_2(y) 
     = 1*x + (2*y + 1)*1 
     = x + 2*y + 1