Python/Sympy三次方程的三角解決方案

Question

我可以使用Python/Sympy獲得三次方程的三角符號解答嗎？

http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Trigonometric_.28and_hyperbolic.29_method

Answer 1

更新：下面給出的解決方案是現在可通過使用具有根或解決這樣的方程時roots_cubic關鍵字trig=True。

這種形式是不是與我所知道的任何關鍵字給出的，但它並不難寫一個程序來做到這一點：

>>> def cutrig(a,b,c,d): 
...  a,b,c,d = [S(i) for i in (a,b,c,d)] 
...  # x = t - b/3/a 
...  p = (3*a*c-b**2)/3/a**2 
...  q = (2*b**3-9*a*b*c+27*a**2*d)/(27*a**3) 
...  D = 18*a*b*c*d-4*b**3*d+b**2*c**2-4*a*c**3-27*a**2*d**2 
...  assert D > 0 
...  rv = [] 
...  for k in range(3): 
...   rv.append(2*sqrt(-p/3)*cos(acos(3*q/2/p*sqrt(-3/p))/3-k*2*pi/3)) 
...  return list(sorted([i - b/3/a for i in rv])) 
... 
>>> print filldedent(cutrig(-1,2,3,-2)) 

[-2*sqrt(13)*cos(-acos(8*sqrt(13)/169)/3 + pi/3)/3 + 2/3, 
-2*sqrt(13)*sin(-acos(8*sqrt(13)/169)/3 + pi/6)/3 + 2/3, 2/3 + 
2*sqrt(13)*cos(acos(8*sqrt(13)/169)/3)/3] 
>>> 

相比默認的解決方案：

>>> print filldedent(solve(-x**3+2*x**2+3*x-2)) 

[2/3 + (-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(8/27 + sqrt(237)*I/9)**(1/3) + 
13/(9*(-1/2 - sqrt(3)*I/2)*(8/27 + sqrt(237)*I/9)**(1/3)), 2/3 + 
13/(9*(-1/2 + sqrt(3)*I/2)*(8/27 + sqrt(237)*I/9)**(1/3)) + (-1/2 + 
sqrt(3)*I/2)*(8/27 + sqrt(237)*I/9)**(1/3), 2/3 + 13/(9*(8/27 + 
sqrt(237)*I/9)**(1/3)) + (8/27 + sqrt(237)*I/9)**(1/3)] 

每個值是相同的：

>>> sorted([w.n(2,chop=True) for w in solve(-x**3+2*x**2+3*x-2)]) 
[-1.3, 0.53, 2.8] 
>>> sorted([w.n(2,chop=True) for w in cutrig(-1,2,3,-2)]) 
[-1.3, 0.53, 2.8]