使用CoreGraphics查找二次貝塞爾的最小值/最大值

Question

我正在使用CoreGraphics繪製二次貝塞爾曲線，但想要計算曲線的最小值/最大值。我不是從數學背景出發的，所以這變得有點麻煩。有沒有人有關於如何解決這個問題的文章或想法？

Answer 1

對於二次貝塞爾，這其實是很簡單的。

將您的三個控制點定義爲P0 = (x0,y0),P1 = (x1,y1)和P2 = (x2,y2)。要查找x極值，解決這個方程：

t = (x0 - x1)/(x0 - 2*x1 + x2) 

如果0 <= t <= 1，然後在t評估你的曲線和存儲位置爲Px。做同樣的事情y：

t = (y0 - y1)/(y0 - 2*y1 + y2) 

再次，如果0 <= t <= 1，在t評估你的曲線和存儲位置爲Py。最後，找到包含P0,P2,Px（如果找到）和Py（如果找到）的軸對齊邊界框。這個邊界框也將緊緊地限制你的二維二次貝塞爾曲線。

Answer 2

微積分給出了尋找連續，可微分曲線的最小/最大值的標準方法。

下面是一個簡單的討論：

http://newsgroups.derkeiler.com/Archive/Comp/comp.graphics.algorithms/2005-07/msg00334.html

Answer 3

我已經作出的這一表示在javascript：

Jsfiddle link

function P(x,y){this.x = x;this.y = y; } 
function pointOnCurve(P1,P2,P3,t){ 
    if(t<=0 || 1<=t || isNaN(t))return false; 
    var c1 = new P(P1.x+(P2.x-P1.x)*t,P1.y+(P2.y-P1.y)*t); 
    var c2 = new P(P2.x+(P3.x-P2.x)*t,P2.y+(P3.y-P2.y)*t); 
    return new P(c1.x+(c2.x-c1.x)*t,c1.y+(c2.y-c1.y)*t); 
} 
function getQCurveBounds(ax, ay, bx, by, cx, cy){ 
    var P1 = new P(ax,ay); 
    var P2 = new P(bx,by); 
    var P3 = new P(cx,cy); 
    var tx = (P1.x - P2.x)/(P1.x - 2*P2.x + P3.x); 
    var ty = (P1.y - P2.y)/(P1.y - 2*P2.y + P3.y); 
    var Ex = pointOnCurve(P1,P2,P3,tx); 
    var xMin = Ex?Math.min(P1.x,P3.x,Ex.x):Math.min(P1.x,P3.x); 
    var xMax = Ex?Math.max(P1.x,P3.x,Ex.x):Math.max(P1.x,P3.x); 
    var Ey = pointOnCurve(P1,P2,P3,ty); 
    var yMin = Ey?Math.min(P1.y,P3.y,Ey.y):Math.min(P1.y,P3.y); 
    var yMax = Ey?Math.max(P1.y,P3.y,Ey.y):Math.max(P1.y,P3.y); 
    return {x:xMin, y:yMin, width:xMax-xMin, height:yMax-yMin}; 
}