浮點相互總是往返嗎？

Question

對於IEEE-754算術，在倒數的最後一位準確度中是否有0或1個單位的保證？那麼，對於互惠的倒數是否有保證的誤差？

Answer 1

[下面一切假定固定的IEEE 754的二進制格式，以某種形式的舍入到最近的作爲舍入模式。]

由於倒數（計算爲1/x）是一種基本的算術運算，1是完全可表示，並且算術運算保證按標準正確舍入，倒數結果保證在真值的最後位置處於0.5單位內。 （這適用於在標準中規定的基本的算術運算的任何。）

值x不保證等於x，在一般的倒數的倒數。一個簡單的例子與IEEE 754 binary64格式：避免

>>> x = 1.8 
>>> 1.0/(1.0/x) 
1.7999999999999998 
>>> x == 1.0/(1.0/x) 
False 

然而，假定溢和下溢，並且x是有限的，非零值，和精確表示，下面的結果都爲真：

1. 1.0/(1.0/x)的值與x的差異不會超過1個單位。

2. 如果x尾數（歸一化至處在範圍[1.0, 2.0)照例）比sqrt(2)小，則倒數確實往返：1.0/(1.0/x) == x。

證明素描：不失一般性，我們可以假設x爲正，並且通過兩個功率尺度x，使其處於範圍[1.0, 2.0)。上述結果在x是2的精確冪的情況下顯然是正確的，所以我們假設它不是（這將在下面的第二步中有用）。以下證明是針對IEEE 754二進制64格式的特定精度給出的，但它直接適用於任何IEEE 754二進制格式。

爲真正值倒數的舍入之前，寫1/x，讓y是（獨一無二的，因爲它原來）最接近的可表示binary64浮到1/x。然後：

• 因爲y是最接近浮子1/x，都y和1/x都在binade [0.5, 1.0]，其中連續彩車之間的間距正好是2^-53，我們有|y - 1/x| <= 2^-54。事實上，我們可以做得更好一些：

• 我們實際上有一個嚴格的不平等以上：|y - 1/x| < 2^-54。如果|y - 1/x|是剛好等於2^-54，那麼1/x將精確地表示爲任意精度二進制浮點數（因爲y和2^-54都是）。但唯一的二進制浮點數x其中1/x可以精確地表示一個精度是2的冪，我們已經排除了這種情況。

• 如果x < sqrt(2)然後1/x > x/2，因此（四捨五入既最接近的可表示浮動），我們有y >= x/2，所以x/y <= 2。

• 現在x - 1/y = (y - 1/x) x/y，並從|y - 1/x|和x/y邊界（仍假設x < sqrt(2)）我們得到|x - 1/y| < 2^-53。因此，x是1/y,1/y輪到x最接近的浮點數，並且往返成功。這完成了第2部分的證明。

• 在一般情況下，我們有x/y < 4，所以|x - 1/y| < 2^-52。這使得1/y至多1 ULP從x遠，完成的部分證明1.

這裏的sqrt(2)門檻的演示：使用Python，我們就範圍[1.0, 2.0)百萬隨機花車，並確定那些不能通過互惠的。所有小於sqrt(2)的樣本均通過往返。

>>> import random 
>>> samples = [random.uniform(1.0, 2.0) for _ in range(10**6)] 
>>> bad = [x for x in samples if 1.0/(1.0/x) != x] 
>>> len(bad) 
171279 
>>> min(bad) 
1.4150519879892107 
>>> import math 
>>> math.sqrt(2) 
1.4142135623730951 

而一個示範的最大誤差不超過1 ULP，一般來說（對於binary64格式，在binade [1.0，2.0），在最後一個地方1個單元是2^-52） ：

>>> samples = [random.uniform(1.0, 2.0) for _ in range(10**6)] 
>>> max(abs(x - 1.0/(1.0/x)) for x in samples) 
2.220446049250313e-16 
>>> 2**-52 
2.220446049250313e-16 

下面是與IEEE 754 binary64格式示出了如何避免下溢的限制是必要的一個例子：

>>> x = 1.3e308 
>>> x_roundtrip = 1.0/(1.0/x) 
>>> x.hex() 
'0x1.72409614c1e6ap+1023' 
>>> x_roundtrip.hex() 
'0x1.72409614c1e6cp+1023' 

這裏x_roundtrip結果從與原來的b的不同之y兩個單位，因爲1/x小於最小的正常可表示的浮點數，因此與x的表示精度相同。最後說明：由於IEEE 754-2008也涵蓋了十進制浮點類型，所以我應該提到，上述證明幾乎是逐字進行到十進制的情況下，確定對於有效數小於sqrt(10)的浮點數，會發生往返，而對於一般的十進制浮點數（再次避免溢出和下溢），我們永遠不會超過一個單位在最後的地方。然而，需要一些數論理論來證明關鍵不等式|x - 1/y| < 1/2 10^(1-p)始終是嚴格的：最終必須證明數量1 + 16 10^(2p-1)永遠不是平方數（這是真的，但它可能超出了本網站的範圍在這裏包括證明）。

>>> from decimal import Decimal, getcontext 
>>> import random 
>>> getcontext().prec = 6 
>>> samples = [+Decimal(random.uniform(1.0, 10.0)) for _ in range(10**6)] 
>>> bad = [x for x in samples if 1/(1/x) != x] 
>>> min(bad) 
Decimal('3.16782')