本徵對稱正定矩陣的高效逆

Question

在本徵，如果我們有對稱正定矩陣A那麼我們就可以通過

A.inverse(); 

或

A.llt().solve(I); 

計算的A逆其中I是與A大小相同的單位矩陣。但是有沒有更有效的方法來計算對稱正定矩陣的逆？

例如，如果我們寫的A的Cholesky分解爲A = LL^{T}，然後L^{-T} L^{-1}是因爲A L^{-T} L^{-1} = LL^{T} L^{-T} L^{-1} = I（和其中L^{-T}表示的L轉置的倒數）的A倒數。因此，我們可以獲得A的Cholesky分解，計算其逆，然後獲得該逆的叉積來找到A的逆。但我的直覺是，計算這些明確的步驟將比上述使用A.llt().solve(I)慢。

而在任何人問起之前，我的確需要明確的反轉 - 它是對Gibbs採樣器的一部分進行計算。

Answer 1

使用A.llt().solve(I)，假定A是SPD矩陣，並應用Cholesky分解來解決方程式Ax=I。求解方程的數學過程與你明確的方式完全相同。所以如果你正確地做了每一步，性能應該是一樣的。

另一方面，與A.inverse()，你正在做一般矩陣反演，它使用LU分解大矩陣。因此性能應該低於A.llt().solve(I);。