如何在MATLAB中獲得該方程式的所有解法？

我想解決以下公式：棕褐色（x）= 1/X如何在MATLAB中獲得該方程式的所有解法？

我做了什麼：

syms x 
eq = tan(x) == 1/x; 
sol = solve(eq,x)

但是這給了我只是解決方案的數值逼近。之後，我讀了下面的內容：

[sol, params, conds] = solve(eq, x, 'ReturnConditions', true)

但這告訴我，它無法找到明確的解決方案。

如何在一定範圍內找到該方程的數值解？

來源

2016-11-21 user137425

你是什麼意思「獲得所有的價值」？這個方程有無限的解決方案（只需[繪製它並看看]（http://www.wolframalpha.com/input/?i=tan（x）+％3D％3D + 1％2Fx +從+ -20 +到+20））。 –

對不起，我的意思是不止一個值。例如在一個範圍內。 – user137425

我的意思是，在一定範圍內的數值解決方案 – user137425

要找到一些範圍內的數值解的功能，你可以使用fzero這樣的：

fun = @(x)x*tan(x)-1; % Multiplied by x so fzero has no issue evaluating it at x=0. 
range = [0 pi/2]; 
sol = fzero(fun,range);

以上將返回只有一個解決方案（0.8603）。如果您需要其他解決方案，則需要多次撥打fzero。這是可以做到，例如，在一個循環：

fun = @(x)tan(x)-1/x; 

RANGE_START = 0; 
RANGE_END = 3*pi; 
RANGE_STEP = pi/2; 

intervals = repelem(RANGE_START:RANGE_STEP:RANGE_END,2); 
intervals = reshape(intervals(2:end-1),2,[]).'; 

sol = NaN(size(intervals,1),1); 

for ind1 = 1:numel(sol) 
    sol(ind1) = fzero(fun, mean(intervals(ind1,:))); 
end 

sol = sol(~isnan(sol)); % In case you specified more intervals than solutions.

其中給出：

[0.86033358901938; 
1.57079632679490; % Wrong 
3.42561845948173; 
4.71238898038469; % Wrong 
6.43729817917195; 
7.85398163397449] % Wrong

需要注意的是：

功能是對稱的，因此是其根源。這意味着你可以在正確的時間間隔內解決問題（例如），並獲得「免費」的負向根。
sol中的每個其他條目都是錯誤的，因爲這是我們漸進性不連續性的地方（tan從+Inf轉換爲-Inf），這被MATLAB錯誤地認爲是一種解決方案。所以，你可以不理會他們（即sol = sol(1:2:end);。

來源

2016-11-21 16:52:53

謝謝，但它只顯示一個解決方案。 – user137425

謝謝！一個好的範圍是[-8 8] – user137425

改變方程爲'x * sin（x）-cos（x）== 0'去進一步去單數化。 – LutzL

我一直使用求解器「盲目」，也就是說，如果沒有某種體面的初始值選擇方案從來都不喜歡。以我的經驗，價值觀，你會發現，當一味地做事，沒有語境，意思是說，你經常會錯過解決方案，認爲事情是一種解決方案，而實際上解決方案會發生爆炸等。

對於這種特殊情況，重要的是要認識到fzero使用數值導數來尋找越來越好的近似值，但是，f(x) = x · tan(x) - 1的衍生物變得越來越難以精確計算以增加x：

正如你所看到的，x越大越好f(x)接近垂直線。 fzero只會爆炸！因此，在進入fzero之前，儘可能接近以儘可能地解決方案。

所以，這裏有一種方法來獲得好初始值。

考慮函數

f(x) = x · tan(x) - 1

明知tan(x)有Taylor expansion：

tan(x) ≈ x + (1/3)·x³ + (2/15)·x⁵ + (7/315)·x⁷ + ...

，我們可以用它來近似功能f(x)。第二項後截斷，我們可以這樣寫：

f(x) ≈ x · (x + (1/3)·x³) - 1

現在，關鍵要意識到的是，tan(x)重複週期爲π。因此，它是最有用的考慮的功能家族：

fₙ(x) ≈ x · ((x - n·π) + (1/3)·(x - n·π)³) - 1

評估此一對夫婦倍數和收集方面的給出了以下概括：

f₀(x) = x⁴/3 - 0π·x³ + (0π² + 1)x² - (0π + (0π³)/3)·x - 1 
f₁(x) = x⁴/3 - 1π·x³ + (1π² + 1)x² - (1π + (1π³)/3)·x - 1 
f₂(x) = x⁴/3 - 2π·x³ + (4π² + 1)x² - (2π + (8π³)/3)·x - 1 
f₃(x) = x⁴/3 - 3π·x³ + (9π² + 1)x² - (3π + (27π³)/3)·x - 1 
f₄(x) = x⁴/3 - 4π·x³ + (16π² + 1)x² - (4π + (64π³)/3)·x - 1 
           ⋮ 
fₙ(x) = x⁴/3 - nπ·x³ + (n²π² + 1)x² - (nπ + (n³π³)/3)·x - 1

實現這一切都在一個簡單的MATLAB測試：

% Replace this with the whole number of pi's you want to 
% use as offset 
n = 5; 

% The coefficients of the approximating polynomial for this offset 
C = @(npi) [1/3 
      -npi 
      npi^2 + 1 
      -npi - npi^3/3 
      -1]; 

% Find the real, positive polynomial roots 
R = roots(C(n*pi)); 
R = R(imag(R)==0); 
R = R(R > 0); 

% And use these as initial values for fzero() 
x_npi = fzero(@(x) x.*tan(x) - 1, R)

在一個循環中，這可能會產生下表：

% Estimate (polynomial) Solution (fzero) 
0.889543617524132   0.860333589019380 0·π 
3.425836967935954   3.425618459481728 1·π 
6.437309348195653   6.437298179171947 2·π 
9.529336042900365   9.529334405361963 3·π 
12.645287627956868   12.645287223856643 
15.771285009691695   15.771284874815882  
18.902410011613000   18.902409956860023 
22.036496753426441   22.036496727938566 ⋮ 
25.172446339768143   25.172446326646664  
28.309642861751708   28.309642854452012 
31.447714641852869   31.447714637546234 
34.586424217960058   34.586424215288922 11·π

正如您所看到的，近似值基本上等於解決方案。相應的曲線：

來源

2016-11-21 22:05:34

爲什麼不只是簡單地乘以有問題的術語'cos（x）'來找到無極方程x * sin（x）-cos（x）== 0'？ – LutzL

@LutzL嗯......然後呢？仍然很難找到一個好的初始估計。這是一個角度相關的相量，也就是說，它與'√（x²+ 1）·sin（x + atan2（-1，x））'相同。正如你所看到的那樣，這個週期不是一個「乾淨的」2π，而是依賴於「x」。你可以在你找到的第一個解決方案中加入n？π來獲得後續估計值，對於這種情況，我認爲這確實足夠好。但是，經驗表明，對於*其他*情況，其中期間不是*完全*你在初始估計中假設的，你最終會兩次收斂到相同的解決方案，並錯過下一個... –

@LutzL好吧，你可以自由地添加一個答案，使我看起來很可笑，我真的很喜歡它，當發生這種情況:) –

乘法公式由x和cos(x)避免了可能具有價值0任何分母，

f(x)=x*sin(x)-cos(x)==0

考慮標準化的功能

h(x)=(x*sin(x)-cos(x))/(abs(x)+1)

對於大x這將越來越克洛se至sin(x)（或-sin(x)，對於大的負數x）。事實上，繪製這個圖像已經在視覺上是真實的，最大幅度因子爲x>pi。

對於[0,pi/2]第一根使用泰勒近似在第二度x^2-(1-0.5x^2)==0的x=0得到x[0]=sqrt(2.0/3)作爲根近似，對於較高者採取正弦根x[n]=n*pi，n=1,2,3,...如牛頓迭代xnext = x - f(x)/f'(x)初始近似值來獲得

n  initial    1. Newton   limit of Newton 

0 0.816496580927726 0.863034004302817 0.860333589019380 
1 3.141592653589793 3.336084918413964 3.425618459480901 
2 6.283185307179586 6.403911810682199 6.437298179171945 
3 9.424777960769379 9.512307014150883 9.529334405361963 
4 12.566370614359172 12.635021895208379 12.645287223856643 
5 15.707963267948966 15.764435036320542 15.771284874815882 
6 18.849555921538759 18.897518573777646 18.902409956860023 
7 21.991148575128552 22.032830614521892 22.036496727938566 
8 25.132741228718345 25.169597069842926 25.172446326646664 
9 28.274333882308138 28.307365162331923 28.309642854452012 
10 31.415926535897931 31.445852385744583 31.447714637546234 
11 34.557519189487721 34.584873343220551 34.586424215288922

來源

2016-11-22 10:44:18 LutzL

如何在MATLAB中獲得該方程式的所有解法？

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