類型實例函數

Question

我剛剛意識到，函數具有Monad，Functor和Applicative的實例。

我最常做的，當我看到一些類型類實例我不明白，是寫一些良好的輸入表達式，看看它返回：

有人可以解釋這些情況？你通常會聽到關於List和Maybe的實例，這些實例現在對我來說很自然，但我不明白函數如何成爲函子或Monad。

編輯： 好吧，這是一個有效的良好的輸入表達式無法編譯：

fmap (+) (+) 1 (+1) 1 

Answer 1

首先，我同意你的觀點：功能不如仿函數非常直觀，的確有時我真希望這些情況並不存在。這並不是說他們有時候並沒有用處，但是他們經常以不必要和混亂的方式使用它們。這些方法總是可以替換爲更具體的組合子（特別是Control.Arrow），或者用等效的但更具描述性的reader monad替代。

這就是說...瞭解功能仿函數，我建議你先考慮Map。在某種程度上，Map Int與數組非常類似：它包含一些可以轉換的元素（即fmap），並且您可以通過索引使用整數訪問各個元素。 Map只允許「數組」在其中存在空位，並且從整數索引推廣到任何可以排序的索引。

儘管如此，Map只是函數的具體實現：它將參數（鍵）與結果（值）相關聯。這應該很清楚地說明函數函子如何工作：它覆蓋函數的所有可能結果^†。

這個解釋很遺憾沒有太多解釋Monad實例，因爲Map實際上並沒有一個monad（甚至是Applicative）實例。列表/數組實現的一個直接的適應確實會是不可能的......回顧：上表中，我們有

pure x ≡ [x] 
(,) <$> [a,b] <*> [x,y,z] ≡ [(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)] 

所以合併之後，指數都不同。對於我們想要支持通用密鑰的Map，這不起作用。

然而，有一個爲列表的替代單子例如，拉鍊列表：

pure x ≡ repeat x 
(,) <$> [a,b] <*> [x,y,z] ≡ [(a,x),(b,y)] 

注意，元素的索引將被保留。

現在這個實例實際上可以適用於Map，如果只有repeat :: a -> Map k a發生器。這是不存在的，因爲一般情況下有無數個密鑰，我們不能枚舉它們，也不能平衡這樣一個Map需要的無限樹。但是，如果我們限制密鑰類型只有有限個可能的值（如Bool），那麼，我們是很好的：

instance Applicative (Map Bool) where 
    pure x = Map.fromList [(False, x), (True, x)] 
    <*> = Map.intersectWith ($) 

現在，這也正是該功能單子作品，只是不像Map怎麼也沒有問題如果無限多個不同的參數是可能的，因爲你永遠不會試圖存儲所有的與關聯的值;相反，你總是隻能當場計算值。

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^†_{，如果它不是懶洋洋地做這將是不可行的 - 這在Haskell是很難的一個問題，其實如果你FMAP在Map也恰好懶洋洋地。對於功能仿函數，fmap實際上不只是懶惰，但其結果也立即被遺忘，需要重新計算。}

Answer 2

fmap爲功能作用在由函數產生的結果：

GHCi> :set -XTypeApplications 
GHCi> :t fmap @((->) _) 
fmap @((->) _) :: (a -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

的t -> a函數的a結果通過一個a -> b功能修改。如果這聽起來很像函數組合，這是因爲它正是：

GHCi> fmap (3 *) (1 +) 4 
15 
GHCi> ((3 *) <$> (1 +)) 4 
15 
GHCi> ((3 *) . (1 +)) 4 
15 

(<*>)是有點麻煩：

GHCi> :t (<*>) @((->) _) 
(<*>) @((->) _) :: (t -> a -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

的Applicative f => f (a -> b)爭論變得t -> (a -> b)。

GHCi> :t \k f -> \x -> k x (f x) 
\k f -> \x -> k x (f x) :: (t2 -> t -> t1) -> (t2 -> t) -> t2 -> t1 

這裏：(<*>)通過使用輔助功能（t -> a類型的），以產生從所述第一，第二個參數的兩個參數（t -> a -> b類型的）的函數轉換成（的t -> b型）一個參數的函數的是一個示例寫在應用性風格，採用的函數的Functor和Applicative實例：

GHCi> ((&&) <$> (> 0) <*> (< 4)) 2 
True 

一個讀取它是「喂2到(> 0)和(< 4)方式，和COMBI ne結果(&&)「。它可以用更簡潔的方式寫入liftA2Control.Applicative，但我相信拼寫更有意義 - 揭示。

的Applicative，pure另一種方法...

GHCi> :t pure @((->) _) 
pure @((->) _) :: a -> t -> a 

...使得t -> a功能出a，別無其他的。常數函數是這樣做的唯一方法：

GHCi> pure 2 "foo" 
2 
GHCi> pure 2 42 
2 

請注意pure 2在上面的每個例子不同的類型。

鑑於上述所有情況，Monad實例令人驚訝地沒有趣味。對於額外的清晰度，讓我們來看看而不是在(>>=)：

GHCi> :t (=<<) @((->) _) 
(=<<) @((->) _) :: (a -> t -> b) -> (t -> a) -> t -> b 

如果你比較這類型與(<*>)的一個，你會看到他們是相同的，不同之處在於第一個參數已經翻轉。函數實例是一個例外情況，其中Applicative和Monad做了基本相同的事情。

值得一提的是，從joinControl.Monad可用於使用值作爲兩個參數的函數的兩個參數：

GHCi> :t join @((->) _) 
join @((->) _) :: (t -> t -> a) -> t -> a 
GHCi> join (*) 5 
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