給定是大小爲n的集合S，其被劃分爲大小爲n1，...，nk的類（s1，...，sk）。當然，它認爲n = n1 + ... + nk。劃分中可能的組合的數量
我有興趣瞭解我可以組合這些分區元素的方法的數量，以便每個組合都包含每個類的一個元素。
由於我可以從s1中選擇n1個元素，從s2中選擇n2個元素等等，我正在尋找max（n1 * .. * nk）對於任意n1，.. nk的解決方案，它認爲n1 + .. + NK = N。
我感覺這是一個線性優化問題，但是我學習這門課作爲一個本科生的時間太長了。我希望有人記得如何計算這個。
floor(n/k)^(k - n mod k)*ceil(n/k)^(n mod k)
- MarkusQ
附：對於例如你給的S = {1,2,3,4}，N = 4，K = 2，給出：
floor(4/2)^(2 - 4 mod 2)*ceil(4/2)^(4 mod 2)
floor(2)^(2 - 0)*ceil(2)^(0)
2^2 * 2^0
4 * 1
4
...你想要的。
爲了澄清，該公式給出了由最大可能的排列數量進行分區所產生的排列數目。當然會有其他不太理想的分區。
對於給定的周長，具有最大面積的矩形是最接近正方形的矩形（高維中也是如此），這意味着您希望邊的長度儘可能接近相等（例如所有的平均長度都向上或向下）。然後可以看到該公式爲：
(length of short sides)^(number of short sides)
times
(length of long sides)^(number of long sides)
這就是滿足此約束的超矩形的體積。
請注意，以這種方式查看時，它還會告訴您如何構建最大分區。
您正在尋找每個分區有一個元素的組合數量？
這只是n1 * n2 * ... * nk。
編輯： 你似乎還可以問一個單獨的問題：
鑑於N，我怎麼分配N1，N2，...，NK例如，他們的產品是最大的。這實際上不是一個線性優化問題，因爲您的變量會相乘。
它可以通過一些微積分來解決，即通過在每個變量中採用偏導數，並使用拉格朗日乘子來約束。
結果將是n1 .. nk應儘可能接近相同的大小。
if n is a multiple of k, then n_1 = n_2 = ... = n_k = n/k
otherwise, n_1 = n_2 = ... = n_j = Ceiling[n/k]
and n_j+1 = ... = n_k = floor[n/k]
基本上，我們嘗試儘可能均勻地將元素分配到分區中。如果它們均勻分佈，那麼很好。如果不是，我們儘可能均勻地分割，並且無論剩下什麼，我們會爲第一個分區分別添加一個元素。 （不一定是第一個分區，這個選擇是相當隨意的）。這樣，任何兩個分區擁有的元素數量的差異最多隻有一個。
血淋淋的細節：
這是我們希望最大限度地提高產品功能：
P = N1 N2 * * ...爲nK
我們定義使用拉格朗日乘子新功能：
LAMBDA = P + 1（N - N1 - N2 ... -NK）
並採取偏導數在每個第k n_i個變量：
dLambda/dn_i = P/n_i個 - 升
和在升：
dLambda/dl的= N - N1 -n2 ... -NK
設置所有偏導數= 0，我們得到一個k + 1方程組，當我們解決它們時，我們將得到n1 = n2 = ...= NK
一些有用的鏈接：
這裏似乎有兩個獨立的問題。對於組合總數的解決方案如下所述。我在這裏還有一個優化問題？ – 2009-02-27 22:42:50
我希望下面的東西有所幫助。這是一個需要花費一段時間才能完成的微積分課題，但簡而言之就是這樣。 – 2009-02-27 23:06:01
非常感謝Rob。這似乎正在幫助我接近解決方案。 – user66237 2009-03-06 03:34:46