部分矩陣變換

Question

如果我有一個表示二維旋轉，平移或縮放（或其組合）的3x3矩陣，有一種方法是將其與常量或其他矩陣相乘以計算部分變換矩陣。例如，如果我知道矩陣是一個平移矩陣，我可以簡單地乘以m[0][2]和m[1][2]某個常數（例如0.25）來創建1/4（m）平移矩陣。

是否有一個通用的方法，將工作，無論矩陣？如果不是，是否有單獨的方法可用於列出的每種類型（旋轉和縮放）。

Answer 1

這與OpenGL 3D transformations只是同源的。所以是的，只需省略行/列，您就可以用3x3矩陣產品表示2D平移，旋轉和縮放。

例如：

翻譯：

|1 0 Tx| |x| | x+Tx | 
|0 1 Ty|*|y| = | y+Ty | 
|0 0 1 | |1| | 1 | 

轉速：

|cos(w) -sin(w) 0| |x| | x*cos(w)-y*sin(w) | 
|sin(w) cos(w) 0|*|y| = | x*sin(w)+y*cos(w) | 
| 0  0  1| |1| |   1   | 

規模：

|Sx 0 0| |x| | Sx*x | 
|0 Sy 0|*|y| = | Sy*y | 
|0 0 1| |1| | 1 | 

如果要合併更多的變換它的possibl e申請更多。假設你有一個比例操作，S和一個翻譯，T。

現在給出一個向量V0你可以擴展它：V1 = 小號 * V0

比你可以把它翻譯：

V2 = 牛逼 * v1

t帽子是：

V2 = Ť * 小號 * V0

Ť * 小號是複合變換該

1. 分的矢量
2. 翻譯它

現在，讓我們覺得什麼是相反的順序執行的轉換：小號 * 牛逼

1. 轉化載體
2. 規模是

注意到，現在的比例將縮放翻譯後的座標 - 與第一種情況不同。

現在您正在詢問轉換操作的操作，而不是矢量。我會嘗試用這樣的：獲得載體V3：

1. 進行倒規模經營
2. 翻譯倒縮放矢量
3. 規模是

這將導致在矢量原尺度，翻譯成「縮尺翻譯」。這通常寫爲：

V3 = 小號^-1 * Ť * 小號 * v

其中小號^-1是逆矩陣（S ^-1 * S = I，單位矩陣）執行相反的操作。

小號^-1 * 牛逼 * 小號是你正在尋找的轉變。這種方法非常普遍。