矩陣的逆的行列式

Question

如何使用Cholesky分解來計算矩陣的逆的行列式。我發現，直接計算矩陣的行列式並不是一個好主意。所以任何人都可以提供一些見解

Answer 1

如果已經有Cholesky分解（A = L * L_t），那麼你就必須

det(A) = det(L) * det(L_t) = sqr(det(L)) 

L矩陣是下三角所以其行列式是對角元素的乘積。 Cholesky分解需要O（n^3）運算，L的對角元素的乘積只有O（n）。高斯消除法（將A轉換成三角矩陣）將花費O（n^3），並且會遭受可能的數值問題。

最後，det（inv（A））= 1/det（A）。

Answer 2

det(A) = product(eigenvalues(A)) = product(diagonal(choleskyFactorization(A)))^2

例如，爲了計算矩陣A的行列式在Matlab /倍頻程可以使用prod(diag(chol(A)))^2，其是在Matlab語法上述公式的右手側。