計算上的三角形邊緣不準確的三角形頂點位置的潛在影響lenghts

Question

我不知道如何解決以下問題：

我有一個三角形與各三個已知頂點位置A，B，C的是不準確的，意味着它們可以各自偏離到某個已知半徑rA，rB，rC爲任意方向。給定這樣一個三角形，我想計算在最壞的情況下，三角形的兩個特定邊緣長度（例如，邊緣a和邊緣b的長度之間的差異）的差異可能會有多大的變化。有沒有什麼優雅的數學解決這個問題？

我想到的天真的方式是計算所有360^3角度組合並測量每種情況下的邊緣差異，這是一個相當高的開銷。

Answer 1

下圖說明了解決方案：

MinMaxEdgeDiff.png http://www.freeimagehosting.net/uploads/b0f0f84635.png

幾點需要注意：

1. 線段AC1和BC1表示的最大可能值| BC | - | AC |，而線AC2和BC2表示可能的最小值。在C1處，圓的切線必須平分AC1和BC1形成的角度;同樣適用於C2。
2. AC1（當通過虛線延伸時）和AC2都通過A.同樣，BC1和BC2通過B.任何與中心的偏離，並且線將更長或最短。

3. 的最大和最小的區別是：

   d1 = |BC1| - |AC1| = (|B->C1| + _rB_) - (|A->C1| - _rA_) 
           = |B->C1| - |A->C1| + (_rA_ + _rB_) 
   
   d2 = |BC2| - |AC2| = (|B->C2| - _rB_) - (|A->C2| + _rA_) 
           = |B->C2| - |A->C2| - (_rA_ + _rB_) 
   

   因此，最大和最小的差之間的變化是：

   d1 - d2 = (|B->C1| - |A->C1|) - (|B->C2| - |A->C2|) + 2*(_rA_ + _rB_) 
   

最後一點提示，該溶液可通過找到從中心A和B求解，然後加上半徑rA和rB。因此，C1和C2的位置可以通過圍繞C的邊界圓僅改變單個角度來迭代地（並且分開地，因爲它們彼此獨立）被發現。

我懷疑有一個解析解決方案。這是一個有趣的問題，但不足以讓我反對這個特殊任務。抱歉。 ;-)