在Mathematica中查找Binet形式

假設我有一個線性遞推*，並且我想要找到它的封閉形式'Binet'表示形式。有沒有在Mathematica中做到這一點的好方法？在Mathematica中查找Binet形式

這似乎是一個非常基本的要求，當然有很多自然的方法可以讓Mathematica爲我做。但到目前爲止，我嘗試過的所有東西都失敗了：它一直在攪動，直到內存使用量過高，操作系統不得不關閉它，或者它警告說它不知道如何簡化簡單表達式或類似內容。如果問題很難解決，我可以理解這一點，但這並不是—因素的特徵方程，找到根源，並解決線性系統。我最近一次嘗試這種方式（並且程序崩潰）是以9度爲例，我不認爲9乘9線性系統應該很難解決。

當然，我不是唯一一個不時需要這樣做的人！什麼是正確的方法來做到這一點？

我失去了我的會議，所以我沒有我試過的確切代碼。一個解決方案使用RSolve創建了一個包含重複和初始點的List。另一個發現並考慮了特徵方程，並且將適當的根用到乘以與C [i]產生的係數相關的多重度的多項式的n次冪。我也試過各種方式解決和減少。

*或者是一個合理的生成函數。實際上，我將從一個List數字開始，這些數字是由不到一半長度的重複數字描述的，並且FindLinearRecurrence或FindGeneratingFunction可以執行不太難的轉換。例如，當我要求它解決一次復發時，它在計算過程中因sin^2（3pi/14）+ cos^2（3pi/14）而窒息，表示精度不夠。你會認爲它可以象徵性地簡化這樣的事情，但不會。

來源

2011-11-17 Charles

你的意思呢？ http://mathworld.wolfram.com/BinetForms.html 如果是這樣，將不會有一個函數來爲你做，但它看起來不像一個程序太糟糕寫。 – Searke

@ Sekke：是的。對於某些列表多項式，任何線性遞歸都有形式爲'a [n_]：= Sum [polynomial [[i]] [n] * base [[i]]^n，{i，1，k}]'和長度爲k的基數。我想找到這些列表。我寫的四個程序都沒有給出答案：程序是正確的，但Mathematica無法解決上述原因導致的方程式。我正在尋找解決Mathemastica侷限性的方法。 – Charles

推動推動我可以從頭開始編寫一個程序來完成此任務，而不是使用Mathematica的符號功能，但在這種情況下，我將不會使用Mathematica - 爲什麼要支付性能成本，如果不能使用任何高級功能？ – Charles

我不知道如果這是你腦子裏想的是什麼，但你可以做這樣的事情

Binet[ker_List, init_List] := 
Module[{charp, roots, polynomials, coeffs, base, p}, 
    roots = Tally[ 
    [email protected][ 
     PadLeft[Append[IdentityMatrix[Length[ker] - 1], Reverse[ker]]]]]; 
    coeffs = Table[p[i, j], {i, Length[roots]}, {j, roots[[i, 2]]}]; 
    polynomials = 
    Table[(Evaluate[i.#^Range[0, Length[i] - 1]]) &, {i, coeffs}]; 
    base = roots[[All, 1]]; 
    {polynomials /. 
    Solve[Table[ 
     Through[polynomials[n]].base^n == init[[n + 1]], {n, 0, 
     Length[init] - 1}], Flatten[coeffs]][[1]], base}]

然後，對於一個線性遞推kernel和初始值init，Binet[kernel, init]返回兩個列表。第一個包含多項式，第二個包含特徵多項式的根。在重複表的n個條目就等於a[kernel, init][n]與

a[kernel_, init_] := [email protected][{p, b}, 
    {p, b} = Binet[kernel, init]; 
    Through[p[#]].b^#] &

所以例如用於Fibonacci序列，你會得到

kernel = {1, 1}; 
init = {1, 1}; 
{p, b} = Binet[kernel, init] 

(* ==> {{0.723607 &, 0.276393 &}, {1.61803, -0.618034}} *) 

With[{sol = a[{1, 1}, {1, 1}]}, 
    Table[[email protected][n], {n, 0, 10}]]; 

(* ==> {1., 1., 2., 3., 5., 8., 13., 21., 34., 55., 89.} *)

來源

2011-11-18 13:58:00 Heike

這似乎工作，謝謝。 Mathematica是否有可能在這裏用'Root'對象（或者它們存在的簡單等價物）給出確切的解答？ – Charles

@Charles嘗試去除特徵值前的N @ @，看看它是否在速度和正確性方面起作用。（我認爲這是正確的，但不確定速度或結果的大小。）我也懷疑可以從RSolve結果中獲得這種形式，但我不清楚Binet形式的確定性。 –

好的，我刪除了'N @'並運行了'f = Binet [{2，-1,0,0,0,0,1，-2,1}，{2,3,4,5,6,7 ，10,13,16]]。（這是導致更早崩潰的例子。）f [[1]] [[i]]'當然是函數，所以我評估它們將它們轉換爲可以簡化的數字。 'f [[1]] [[1]] []'，'f [[1]] [[2]] []'等等，但[f [[1]] [[5]] [ ]'沒有出於某種原因：它給出了一個'Function :: slotn'錯誤。任何想法爲什麼會這樣？ – Charles

我沒有比奈形式的知識，但解決您的關於簡化關注：

expr = Sin[3 pi/14]^2 + Cos[3 pi/14]^2; 

Simplify[expr]

來源

2011-11-18 06:31:57

是的，如果我直接餵它，它可以簡化它。但是當它在計算過程中遇到它時，它不僅不會簡化它，而且會完全結束計算。 – Charles

@Charles我很抱歉，這沒有幫助。你能給我一個簡短的代碼示例，其中* Mathematica *扼殺在這個？表達式是在評估過程中產生的，還是明確給出的（在這種情況下，首先簡化是合理的）？ –

在評估過程中生成。我從來沒有輸入過Sin，它是由Mathematica生成的，Mathematica決定在沒有它的情況下不能完成計算。如果它完成了計算並保持不變，我可以使用'Simplify'，'FullSimplify'，甚至是'/ .'來擺脫它，但它沒有。 – Charles

在Mathematica中查找Binet形式

回答

相關問題