使用6面骰子計算賠率分佈

Question

我正在嘗試計算不斷變化的6面擲骰數量的賠率分佈。例如，3D6從3範圍爲18如下：

3:1, 4:3, 5:6, 6:10, 7:15, 8:21, 9:25, 10:27, 11:27, 12:25, 13:21, 14:15, 15:10, 16:6, 17:3, 18:1 

我寫這個PHP程序來計算的話：

function distributionCalc($numberDice,$sides=6) { 
for ($i=0; $i<pow($sides,$numberDice); $i++) 
    { 
    $sum=0; 
    for ($j=0; $j<$numberDice; $j++) 
     { $sum+=(1+(floor($i/pow($sides,$j))) % $sides); } 
    $distribution[$sum]++; 
    } 
return $distribution; 
} 

for循環內附加$ J採用地板的魔力和模量函數來創建與數字在骰子的數目的數目的基-6-計數序列，所以將3D6作爲計數：

111,112,113,114,115,116,121,122,123,124,125,126,131,etc. 

該函數取各自的和，所以它會被理解爲：3,4,5,6,7,8,4,5,6,7,8,9,5等。它通過所有6^3個可能的結果進行處理，並在3到18之間的$分佈數組的相應插槽中添加1。非常簡單。然而，它只能工作到8d6左右，之後我得到服務器暫停，因爲它現在正在做數十億次計算。

但我不認爲這是必要的，因爲死亡概率遵循甜蜜的鐘形曲線分佈。我想知道是否有一種方法可以跳過數字運算並直接進入曲線本身。有沒有辦法做到這一點，例如，80D6（範圍：80-480）？該分佈可以在不進行6^80計算的情況下進行預測嗎？

我不是一個專業的編碼器，對我來說概率還是新的，所以謝謝你的幫助！

斯蒂芬

Answer 1

你正在尋找一個Binomial Distribution

Answer 2

好了，讓我們開始滾動只是一個模具。我們知道平均值是3.5。我們還可以計算方差，其中M是平均值，x是骰子結果，並且p是該骰子結果的概率。使用這個公式，單個骰子滾動的方差爲35/12 = 1/6 *（（ - 2.5）^ 2 +（-1.5）^ 2 +（ - 0.5）^ 2 + 0.5^2 +（-0.5）^ 2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2）

這也是一個事實，對於來自同一分佈的多個獨立樣本，它們的差異會增加。所以，如果你滾動N個骰子，你應該得到一個新的分佈，平均3.5 * N和方差35 * N/12。所以，如果你生成一個平均值爲3.5 * N和方差爲35 * N/12的正態分佈，假設你擲出了相當數量的骰子，這將是一個非常好的選擇。

Answer 3

在PERL：

#! 
my($DieType, $NumDice, $Loaded) = @ARGV; 

my $subname = "D" . $DieType . (($Loaded eq "Loaded") ? "Loaded" : "Normal"); 
my $Prob = \&$subname; 

my $width = 12; 
my $precision = $width - 2; 

printf "%5s %-${width}s \n", "Pip:", "Frequency:"; 
for (my $j = $NumDice; $j <= $DieType * $NumDice ; $j++) { 
    printf "%5d %${width}.${precision}f \n", $j, Frequency($DieType, $NumDice, $j); 
} 

sub D6Normal { 
    my $retval = 1/6; 
} 

sub D6Loaded { 
    my $retval = 1/6; 

    CASE: for ($_[0]) { 
    /1/ && do { $retval -= 0.02/6; last CASE; }; 
    /2..5/ && do { $retval += 0.0025/6; last CASE; }; 
    /6/ && do { $retval += 0.01/6; last CASE; }; 
    } 
    return $retval; 
} 

sub D8Normal { 
    my $retval = 1/8; 
} 

sub D10Normal { 
    my $retval = 1/10; 
} 

sub D10Loaded { 
    my $retval = 1/10; 

    CASE: for ($_[0]) { 
    /1..8/ && do { last CASE; }; 
    /9/ && do { $retval -= 0.01/10; last CASE; }; 
    /10/ && do { $retval += 0.01/10; last CASE; }; 
    } 
    return $retval; 
} 

sub D12Normal { 
    my $retval = 1/12; 
} 

sub D20Normal { 
    my $retval = 1/20; 
} 

sub D32Normal { 
    my $retval = 1/32; 
} 

sub D100Normal { 
    my $retval = 1/100; 
} 

sub Frequency { 
    my($DieType, $NumberofDice, $PipCount) = @_; 

    if (($PipCount > ($DieType * $NumberofDice)) || ($PipCount < $NumberofDice)) { 
    return 0; 
    } 

    if (! exists $Freq{$NumberofDice}{$PipCount}) { 
    if ($NumberofDice > 1) { 
     for (my $i = max(1, $PipCount - $DieType); $i <= min($DieType * ($NumberofDice - 1), $PipCount - 1); $i++) { 
     $Freq{$NumberofDice}{$PipCount} += &$Prob($PipCount - $i) * Frequency($DieType, $NumberofDice - 1, $i); 
     } 
    } else { 
     $Freq{$NumberofDice}{$PipCount} = &$Prob($PipCount); 
    } 
    } 
    return $Freq{$NumberofDice}{$PipCount}; 
} 

sub max { 
    my $max = shift(@_); 
    foreach my $arg (@_) { 
    $max = $arg if $max < $arg; 
    } 
    return $max; 
} 

sub min { 
    my $min = shift(@_); 
    foreach my $arg (@_) { 
    $min = $arg if $min > $arg; 
    } 
    return $min; 
} 

Answer 4

我不知道是否有跳過啃數量和直行到曲線本身的一種方式。有沒有辦法做到這一點，例如，80D6（範圍：80-480）？該分佈可以在不進行6^80計算的情況下進行預測嗎？

是。自變量之和的概率函數是每個變量的概率函數的卷積。

在這種情況下的卷積只是一個特殊的總和。 （更一般地說，卷積是一個積分。）設p和q是兩個離散的概率函數。卷積通常用星號表示。

(p * q)[i] = sum_{j=1}^(n_p) p[j] q[i - j + 1] 

其中i的範圍從1到（N_P + n_q - 1）N_P爲p的元素的數量和n_q Q的元素的數量。如果（i - j + 1）小於1或大於n_q，則令q [i - j + 1]爲零（所以這些項從求和中消失）。

在這種情況下，您有p = q = [1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]，n_p = n_q = 6。 3卷的總和是（p * p * p）。 80卷的總和的分佈是（p * p * p * ...（多76個p）... * p）。

我不知道PHP所以我寫了一個小程序Maxima。

discrete_conv (p, q) := makelist (discrete_conv1 (p, q, i), i, 1, length (p) + length (q) - 1); 
discrete_conv1 (p, q, i) := sum (p [j] * foo (q, i - j + 1), j, 1, length (p)); 
foo (a, i) := if 1 <= i and i <= length (a) then a [i] else 0; 
r : [1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6]; 
discrete_conv (r, discrete_conv (r, r)); 
=> [1/216,1/72,1/36,5/108,5/72,7/72,25/216,1/8,1/8,25/216,7/72, 
    5/72,5/108,1/36,1/72,1/216] 

如果你繼續重複discrete_conv，你會發現數字變得越來越像一個正態分佈。這是中心極限定理的例證。

完全有可能我在編制索引時犯了一些錯誤，因此您需要檢查它。希望這可以解決這個問題。