完成一個矩形矩陣，以便產生幾個方形可逆的井狀矩陣

Question

如果我有一個矩形矩陣C，帶有線性獨立行（參見在帖子底部的第一個觀察中的預期數值的信息），其暗格是qxn，使得q<=n和我想製作幾個正方形可逆矩陣T=[C;R]。

這裏重要的一點是矩陣T應該很好地適應條件（條件編號接近1）。

我寫了一個非常inneficient的方式解決該問題的代碼：

clear all 
C=[1 0]; %example 
tol=0.1; 

n=size(C,2); 
q=size(C,1); 

singularity=1; 
it=0; 
while(singularity==1) 
    a=-5; 
    b=5; 
    R=a + (b - a) .* rand(n - q, n); %generates randomic R matrix with numerical values beetwen 'a' and 'b' 
    M=[C;R]; 
    if(abs(cond(M)-1)<tol) %cond(M) computes the condition number of M 
     singularity=0; 
    end 
    it=it+1; 
end 

考慮C=[1 0]算法的範圍爲700〜2K迭代（收斂然而，過程運行速度非常快，因爲指令很簡單。）

現在，考慮到C=[1 0 0]我被迫中斷處理，因爲迭代超過2kkk。

觀察：我的矩陣C的值的數值usuaally將是小的正整數（從一到十），小racional編號從0至5和零。

重要：對於一個給定矩陣C我做不只需要一個矩陣R，這將使M良好條件。在我的應用程序中，我將需要幾個矩陣R（儘可能多我想要）爲一個給定的C，所以這就是爲什麼我試圖生成R隨機，但不幸的是在一個非常低效的方式。

備註：當然，我能找到一個R，M爲好的條件，然後其他好條件矩陣可以是多以前的一個，但我想嘗試其他方法。

Answer 1

的一種方法將是使用C」（C的轉置）的QR decompositon使得

C' = Q * (R) 
     (0) 

，其中R是qxq上三角的和非單一的，並且Q是正交的。然後，對於任何非奇異（NQ）×（NQ）矩陣B，和任何QX（NQ）矩陣A

Q * (R A) 
    (0 B) 

將是非奇異並且將具有相同的第一Q列爲C」，使得這個轉置就是你想要的。

爲了分析的條件數，我認爲這將是最簡單的取A爲零，因爲那時我們有

|| D || = || R || + || B || 
|| inv(D) || = || inv(R) || + || inv(B) || 
where 
D = (R 0) 
    (0 B)