如何求解符號非線性向量方程？ （Matlab或其他）

Question

我試圖找到解決這個符號非線性矢量方程：

P = a*(V0*t+P0) + b*(V1*t+P1) + (1-a-b)*(V2*t+P2) for a, b and t 

其中P，V0，V1，V2，P0，P1，P2是已知的三維向量。

我試圖做的是在Matlab這樣的：

P = sym('P', [3,1]) 
P0 = sym('P0', [3,1]) 
P1 = sym('P1', [3,1]) 
P2 = sym('P2', [3,1]) 
V0 = sym('V0', [3,1]) 
V1 = sym('V1', [3,1]) 
V2 = sym('V2', [3,1]) 
syms a b t 
F = a*(V0*t+P0) + b*(V1*t+P1) + (1-a-b)*(V2*t+P2) - P 
solve(F,a,b,t) 

我得到

Warning: Explicit solution could not be found. 

我開始江郎才盡了怎麼解決呢，這是不是第一次數學包我試過了。

有趣的是，這個方程有一個簡單的幾何解釋。如果你想象出P0-P2是三角形的頂點，則V0-V2大致是頂點法線，而點P位於三角形的上方，那麼對於包含點P的三角形，三條射線上有三個頂點（V * t + P），共享相同的參數t值。 a，b和（1-a-b）成爲點P的重心座標。因此，如果情況不退化，t應該只有一個明確定義的解決方案。

Answer 1

作爲符號方程，這個有3個變量，所以沒有辦法有一個單一的解決方案。

想象一下，你可以爲b和t選擇任何值。然後在幾乎所有情況下，你都可以解決一個問題，所以你可以得到許多不同的解

如果你想幾何思考，設想V0和V1指向關於（P0，P1，P2）三角形的上半空間，而V2指向下半部分。另外V0，V1垂直於三角形的平面，V0和V1是單位矢量。 現在，如果有一個平面固定在點P上，該點與三角形上方相同距離處的光線P0 + t * V0和P1 + t * V1相交，則可以移動平面使其保持固定在P並以相同的距離相交這兩條光線。這只是挑選V2時的一個問題，以便與該平面的交點以相同的速度移動，因此它將與相同的t相對應，從而爲您提供無限多的解決方案。

另一個例子是如果所有V0-V2與三角形P0，P1，P2共線。然後，你可以得到任何t的解決方案。

所以你需要更多的方程來解決這個象徵性的。