我已經完成了我的2D/3D轉換工作，如何做透視

Question

雖然這個問題的背景是關於製作2D/3D遊戲，但我已經歸結爲一些數學問題。 雖然它是一個2.5D的世界，但我們假裝它只是2d的這個問題。

// xa: x-accent, the x coordinate of the projection 
// mapP: a coordinate on a map which need to be projected 
// _Dist_ values are constants for the projection, choosing them correctly will result in i.e. an isometric projection 
xa = mapP.x * xDistX + mapP.y * xDistY; 
ya = mapP.x * yDistX + mapP.y * yDistY; 

xDistX和yDistX確定x軸的角度，以及xDistY和yDistY確定y軸的角度上的突起（以及網格的大小，但讓我們假設這是1-像素以簡化）。

x-axis-angle = atan(yDistX/xDistX) 
y-axis-angle = atan(yDistY/yDistY) 

一個這樣

--------------- x 
| 
| 
| 
| 
| 
y 

has values like this: 
xDistX = 1; 
yDistX = 0; 
xDistY = 0; 
YDistY = 1; 

「正常」座標系，使在x方向上的每一個步驟將導致在投影到1個像素到右端0像素下來。投影y方向上的每一步都會導致向右0步和向下1步。 當選擇正確的xDistX，yDistX，xDistY，yDistY時，可以投影任何三角形或二維繫統（這就是爲什麼我選擇了這個）。

到目前爲止好，當這是繪製的時候，一切都變好了。如果「我的系統」和思維清晰，讓我們繼續前進。 我想一些觀點添加到該網格，以便我加了一些額外的像這樣：

camera = new MapPoint(60, 60); 
dx = mapP.x - camera.x; // delta x 
dy = mapP.y - camera.y; // delta y 
dist = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); // dist is the distance to the camera, Pythagoras etc.. all objects must be in front of the camera 

fac = 1 - dist/100; // this formula determines the amount of perspective 

xa = fac * (mapP.x * xDistX + mapP.y * xDistY) ; 
ya = fac * (mapP.x * yDistX + mapP.y * yDistY); 

現在真正困難的部分......如果你有什麼（XA，YA）以投影點和希望計算原點（x，y）。 對於第一種情況（沒有透視圖），我確實找到了反函數，但是如何用這個透視圖來完成公式。 5月的數學技能並不完全可以解決這個問題。

（我依稀從很久以前記得數學可以創造一些特殊情況下的反函數......可以把它解決這個問題？可能有人也許嘗試？）

Answer 1

你定義函數不有一個逆。舉個例子，如user207422已經指出任何距離攝像機100個單位的東西都會被映射到（xa，ya）=（0,0），所以逆並不是唯一定義的。

更重要的是，這不是你如何計算透視圖。通常，透視縮放因子被定義爲viewdist/zdist，其中zdist是從相機到物體的垂直距離，並且viewdist是常數，其是從相機到所有投影的假想屏幕的距離。 （請參見圖here，但可以忽略該頁面上的所有其他內容。）您在示例中使用的縮放因子不具有相同的行爲。

這裏有一個試圖將你的代碼轉換成正確的透視計算（注意我不是簡化爲2D;透視是關於將三維投影到兩個，試圖將問題簡化爲2D是毫無意義的）：

camera = new MapPoint(60, 60, 10); 
camera_z = camera.x*zDistX + camera.y*zDistY + camera.z*zDistz; 

// viewdist is the distance from the viewer's eye to the screen in 
// "world units". You'll have to fiddle with this, probably. 
viewdist = 10.0; 

xa = mapP.x*xDistX + mapP.y*xDistY + mapP.z*xDistZ; 
ya = mapP.x*yDistX + mapP.y*yDistY + mapP.z*yDistZ; 
za = mapP.x*zDistX + mapP.y*zDistY + mapP.z*zDistZ; 

zdist = camera_z - za; 
scaling_factor = viewdist/zdist; 
xa *= scaling_factor; 
ya *= scaling_factor; 

你只打算從這個函數返回xa和ya; za僅用於透視計算。我假設「za方向」指向屏幕外，所以如果預投影x軸指向觀看者，那麼zDistX應該是正值，反之亦然，並且類似地對於zDistY。對於三角投影，您可能有xDistZ==0，yDistZ<0和zDistZ==0。這將使預投影z軸點直線投影后。

現在壞消息：這個函數也沒有反函數。任何點（xa，ya）都是無限多個點（x，y，z）的圖像。但！如果你假設z = 0，那麼你可以解出x和y，這可能就足夠了。

要做到這一點，你必須做一些線性代數。計算camera_x和camera_y類似於camera_z。這是相機的轉換後坐標。屏幕上的點具有後變形座標(xa,ya,camera_z-viewdist)。通過這兩點繪製一條直線，並計算由矢量(xDistX, yDistX, zDistX)和(xDistY, yDistY, zDistY)跨越的平面的相交位置。換句話說，您需要解出方程式：

x*xDistX + y*xDistY == s*camera_x + (1-s)*xa 
x*yDistX + y*yDistY == s*camera_y + (1-s)*ya 
x*zDistX + y*zDistY == s*camera_z + (1-s)*(camera_z - viewdist) 

這並不美觀，但它會起作用。

Answer 2

我認爲，與您的帖子我可以解決問題。然而，要澄清一些問題：

解決2d中的問題確實沒有用，但這只是爲了使問題更易於掌握（對於我和讀者來說）。我的程序實際上給出了一個完美的3D投影（我用攪拌機渲染的3D圖像進行了檢查）。儘管如此，我確實遺漏了一些關於反函數的內容。反函數僅適用於0..camera.x * 0.5和0 .. camera.y * 0.5之間的座標。所以在我的例子中介於0到30之間。但是即使如此，我還是懷疑我的功能。

在我的投影中，z軸始終筆直向上，因此要計算物體的高度，我只使用vieuwingangle。但是因爲你實際上不能飛入天空或者跳入天空，所以只有2d的一點。這也意味着，當你試圖解決x和y時，z確實是0.

我知道並不是每個函數都有一個反函數，有些函數只能用於特定的域。我在這一切中的基本思想是......如果我可以使用一個函數繪製一個網格...那個網格上的每一個點都映射到一個映射點。我可以讀取x和y座標，所以如果我只是有正確的功能，我將能夠計算逆。 但是，沒有更好的替代，然後一些好的堅實的數學，我非常高興你花時間給了一個非常有益的迴應:)。