如何在浮點算術和十進制中表示0.1？

Question

我想更好地理解浮點算術，並且看到了一些'每個計算機科學家應該知道什麼關於浮點算術'的鏈接。

我仍然不明白像0.1或0.5這樣的數字是如何存儲在浮點數和小數。

有人可以解釋它是如何擺放的嗎？

我知道浮體是兩部分（即與某物的力量相關的數字）。

Answer 1

我一直指出人們朝着Harald Schmidt's online converter，隨着Wikipedia IEEE754-1985 article與其不錯的圖片。

對於這兩個特定值，你會得到（0.1）：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 1/n 
0 01111011 10011001100110011001101 
      | || || || || || +- 8388608 
      | || || || || |+--- 2097152 
      | || || || || +---- 1048576 
      | || || || |+------- 131072 
      | || || || +-------- 65536 
      | || || |+----------- 8192 
      | || || +------------ 4096 
      | || |+---------------  512 
      | || +----------------  256 
      | |+-------------------  32 
      | +--------------------  16 
      +-----------------------  2 

符號爲正，這是很容易的。

指數爲64+32+16+8+2+1 = 123 - 127 bias = -4，所以乘數爲2-4或1/16。

尾數是矮胖。它由1（隱含的基數）加上（對於所有那些值爲1/(2n)的位爲n開始於1並增加到右邊），{1/2, 1/16, 1/32, 1/256, 1/512, 1/4096, 1/8192, 1/65536, 1/131072, 1/1048576, 1/2097152, 1/8388608}。

當你添加所有這些，你會得到1.60000002384185791015625。

當你乘上倍頻，你0.100000001490116119384765625，這就是爲什麼他們說你不能代表0.1完全一樣的IEEE754浮點，並提供了這麼多的機會，就SO人回答"why doesn't 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3?"型問題:-)

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0.5的例子大大簡化了。它表示爲：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
0 01111110 00000000000000000000000 

這意味着它是隱式的基礎上，1，再加上沒有其它添加劑（所有的尾數位是零）。

該符號再次爲正數。指數是64+32+16+8+4+2 = 126 - 127 bias = -1。因此乘數爲2-1，即1/2或0.5。

所以最終的值是1乘以0.5或0.5。瞧！

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我有時會發現用小數來考慮它更容易。

數字1。345是相當於

1 + 3/10 + 4/100 + 5/1000 

或：

 -1  -2  -3 
1 + 3*10 + 4*10 + 5*10 

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類似地，對於小數0.8125的IEEE754表示爲：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
0 01111110 10100000000000000000000 

隨着1隱含的基礎上，這相當於二進制：

  01111110-01111111 
1.101 * 2 

或：

     -1 
(1 + 1/2 + 1/8) * 2  (no 1/4 since that bit is 0) 

成爲：

(8/8 + 4/8 + 1/8) * 1/2 

和然後變爲：

13/8 * 1/2 = 0.8125 

Answer 2

參見the Wikipedia entrythe IEEE group和，第一。

基本上，有一個標誌，一個數字和一個指數。如果源代碼庫中的因素不在目標庫中，則一個基地中的數字不能有限地表示在另一個基地中。例如，1/3不能表示爲有限的十進制數，但是表示爲三元（基數3）數是微不足道的：（0.1）。

所以0.5具有有限二進制表示，（0.1）2 ，即，2 ^-1，但0.1具有重複表示，因爲2和10具有（5）不處於因子共同。