如何內插兩個不規則數據集之間的點？

Question

我很抱歉有些令人困惑的標題，但我不確定如何總結這個更清晰。

我有兩組X，Y數據，每組對應一個總的總體值。他們從原始數據中進行相當密集的抽樣。我正在尋找的是一種爲任何給定的Y找到插值X的方法，以獲得我已擁有的集合之間的值。

圖表使這更清楚：

在這種情況下，紅色線是從對應於100的一組，黃線是從對應於50

一組我想能夠說，假設這些集合對應於值的梯度（儘管它們明顯由離散的X，Y測量值組成），那麼我如何找到，比如說，如果Y爲500對於一個相當於75的值的集合？

在這裏的例子我希望我所希望的點是什麼地方在這裏：

我不需要這個功能過於花哨 - 它可以是數據點的簡單線性插值。我只是無法思考。

請注意，兩組的X和Y都沒有完全重疊。然而，「這些集合最接近的X點在哪裏」或「這些集合共享的最接近的Y點在哪裏」的說法相當簡單。我已經在已知值之間使用了簡單的插值（例如找到設置爲「50」和「100」的相應Ys的X值，然後平均值得到「75」），最後我看到類似這樣的東西：

所以很明顯，我在這裏做了什麼。很明顯，在這種情況下，對於Y高於「最低」集合的最大值Y的所有情況，X（正確）返回0。事情從一開始就很好，但是當某個人開始接近最低值Y時，它開始出現故障。

很容易明白爲什麼我的錯誤。這裏是另一種方式來看待這個問題：

在「正確」的版本，X應該是約250相反，我在做什麼基本上是平均400和0，X是200。在這種情況下我如何解決X？我認爲雙線性插值可能會有答案，但是我一直沒能找到答案，這就清楚地說明了我將如何去做這類事情，因爲它們似乎都是針對不同的問題構建的。

謝謝您的幫助。請注意，儘管我已經明確地繪製了R中的上述數據，以便輕鬆查看我在說什麼，但最終的工作是使用Javascript和PHP。我不是在尋找一些重任;簡單就好。

Answer 1

好主人，我終於明白了。下面是最終的結果：

美麗！但是，它是多麼多的工作。

我的代碼太拙劣，對我的項目來說太具體以至於沒有太多用處。但這是底層的邏輯。

您必須有兩組數據才能從中插入。我稱這些爲「外部」曲線和「內部」曲線。假定「外」曲線完全包含並且不與「內」曲線相交。曲線實際上只是X，Y數據的集合，並對應於一組定義爲Z的值。在此處使用的示例中，「外部」曲線對應於Z = 50，「內部」曲線對應於Z = 100

重申的目標是爲任何給定的Y找到X，其中Z是我們已知的數據點之間的某個數。

1. 首先計算未知Z表示的兩組曲線之間的百分比。所以如果在我們的例子中Z = 75，那麼結果爲0.5。如果Z = 60，那將是0.2。如果Z = 90那麼那將是0.8。稱此比例P.

2. 在「外」曲線上選擇數據點，其中Y =您想要的Y.想象一下該點與0,0之間的線段。將其定義爲AB。

3. 我們想找到AB與「內」曲線相交的地方。爲此，我們遍歷內部曲線上的每個點。將所選點與點+1之間的線段定義爲CD。檢查AB和CD是否相交。如果沒有，繼續迭代直到他們做。

4. 當我們找到一個AB-CD交點時，我們現在看看交點和我們原點在步驟2的「外」曲線上創建的線。然後，該線段是內部和外部曲線，其中該線的斜率將在圖表中「向下」延續，將與0,0相交。將此新線段定義爲EF。

5. 找到EF長度的百分比（來自步驟1）的位置。檢查Y值。這是我們期望的Y值嗎？如果是（不太可能），則返回該點的X.如果不是，請查看Y是否小於目標Y.如果是，則將該點的位置存儲在一個變量中，我將該變量設置爲lowY。然後再次返回步驟2查找外曲線上的下一個點。如果它是大於目標Y，請查看lowY是否有值。如果是的話，這兩個值之間的插值，並返回插值X.（我們已經「在盒子裏」我們所期望的座標，換句話說。）

上述程序工作得很好。它在Y = 0的情況下失敗，但很容易做到這一點，因爲你可以對這兩個特定點進行插值。在樣本數量少得多的地方，它會產生一些棘手的結果，但我想這是可以預期的（這些是Z = 5000,6000,7000,8000,9000,10000，其中只有5000和10000是已知點他們有各自只有20個數據點 - 插值的其餘部分）：

我下毫不做作，這是一個優化的解決方案，但求解點的採空區實際上是瞬時的我的電腦上，所以我承擔對於現代化的機器來說，這不是太重要，至少是我擁有的總點數（每條曲線30-50）。

感謝大家的幫忙;它通過一點點說明了這一點，並且意識到我在這裏所做的並不是簡單的線性插值，而是沿曲線的一種「徑向」插值。