兩個不同矩陣的本徵向量的餘弦相似度

Question

找到兩個非常大的矩陣的本徵向量的餘弦相似度以比較它們的相似程度是否是一個有效的度量？

我有兩個非常大的矩陣A和B.我發現：

- >協方矩陣C^_甲和C _乙，

- 的ç_{> 20大特徵向量A}和C _B，

- >餘弦前20個特徵向量之間的相似性。

基於餘弦值得出矩陣A和B是相似/不相似的結論是否正確？

Answer 1

簡答：不，你一定要考慮特徵值。

如果你認爲一個正方形的N乘N矩陣作爲一個線性算子，將N向量映射到N向量中，矩陣在這些向量空間上的作用受到矩陣整個譜結構的強烈影響：特徵向量和相關的特徵值。

最大的特徵值通常是最重要的，因爲它們表示矩陣更敏感的N向量空間中的方向（特徵向量）。

在一個好的情況下，一個大矩陣（即它的特徵值集合）的譜可以很好地分離成幾個最大的特徵值和很多小特徵值。在這種情況下，可以基於這樣的主要特徵值集合和相關聯的特徵向量來定義相似性度量。根據我自己的經驗，對於彈性結構建模中產生的矩陣，這確實是典型情況，因爲主導特徵值/特徵向量「凝結」了彈性結構的整體性質。

這就是說，對於一個病理性病例可能會有多糟糕沒有限制。 它很大程度上取決於所考慮的具體問題，並且在我看來，對於「矩陣相似性」的信心假設很大程度上取決於對問題的物理洞察力 。

其他流行的標準來定義「相似」的矩陣是基於奇異值分解（SVD），或主成分分析（PCA）。