QR分解在MatLab

我的任務是擬合一個多項式的數據。我想使用Gram-Schimdt正交化過程來實現QR算法。它是建立在這樣的功能：

function [ Q,R ] = QRDec(A) 
n = length(A(1,:)); 
for i=1:n 
    Q(:,i) = A(:,i); 
    for j=1:i-1 
     R(j,i) = (Q(:,j)')*Q(:,i); 
     Q(:,i) = Q(:,i)-R(j,i)*Q(:,j); 
    end 
    R(i,i) = norm(Q(:,i),2); 
    if R(i,i) == 0 
     break; 
    end 
    Q(:,i)=Q(:,i)/R(i,i); 
end 
end

矩陣Q，R是幾乎相同的，因爲這些Q，R從在MATLAB函數實現時獲得。唯一的區別是符號。如果我用MatLab函數求解方程組R * x = Q * y，我可以得到精確的解。但是如果我使用我自己的矩陣Q和R，那麼我得到錯誤的結果。有人可以告訴我我的方法在哪裏？我也附上腳本的代碼。

% clear variables 
clear; clc; 
N = 100; 
p = ones(1,15); 
d = 14; 
x = linspace(0,1,N)'; 
y = polyval(p,x); 
A = zeros(N,d+1); 
for i = 1 : d+1 
    A(:,i) = x.^(i-1); 
end 
[Qm,Rm] = QRDec(A); 
[Q,R] = qr(A,0); 
a_qrm = Rm\(Qm'*y); 
a_qr = R\(Q'*y); 
end

您是否認爲如此大的錯誤可能是由計算錯誤引起的？我真的很絕望，因爲我似乎有兩個相同的線性方程組，而且解決方案是不同的。

來源

2013-10-14 chip

難道是你的分解與非矩形的矩陣掙扎？如果我在[維基百科條目的示例]上運行代碼（http://en.wikipedia.org/wiki/QR_decomposition），我會得到正確的結果。這是一個3x3矩陣。但是，在你的情況下，「大小（A）」給出了「100x15」。 – Schorsch

MatLab計算線性方程組的系統更「困難」。但我仍然不知道爲什麼MatLabs Q，R矩陣給出了正確的解決方案，而我的矩陣Q，R（儘管它們或多或少與先前的矩陣相同）給出損壞的係數。這只是我不清楚。 – chip

您實施它的格式中的Gram-Schmidt流程是numerically unstable。事實上，由Matlab計算出的Q和Qm是不一樣的。此外，你的矩陣是病態的，它的條件數是> 10^10。

這會導致小錯誤被放大，並可以解釋您看到的效果。

來源

2013-11-29 14:35:41 Johanna

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