如何使可能性隨着時間的推移隨着時間的推移而增加

Question

我有一個機器人玩的遊戲程序。爲了簡單起見，遊戲有2個按鈕 - 「贏」和「再試」。爲了獲勝，機器人必須簡單地推動「贏」按鈕。

的遊戲涉及的是開始於10，並運行至0，每秒一次滴答倒數計時器。在計時器的每次打勾期間，機器人會選取兩個按鈕中的一個。當計時器在10時，機器人點擊贏的機會非常小。隨着計時器接近0，機器人點擊「贏」按鈕的機會增加。當然，機器人可能永遠不會點擊win按鈕。

什麼，我到底追求的是機器人點擊「贏」約90％的與時間贏得點擊進行加權接近定時器0被

我做了一些概率研究（絕對新手），我的理解是，在每個時間點的概率總和應高達0.90，以獲得我想要的結果。例如：

countdownTimerTickNumber | probabilityOfClickingWin 
==================================================== 
10 | 0 
9 | 0.0001 
8 | 0.005 
7 | 0.01 
6 | 0.02 
5 | 0.04 
4 | 0.08 
3 | 0.1 
2 | 0.15 
1 | 0.2 
0 | 0.294 
---------------------------------- 
Total probabilityOfClickingWin over all ticks: .9 

下面是一些僞代碼來顯示如何使用的概率從表格上方實際確定哪個按鈕機器人點擊。它每滴答期間被稱爲：

function bool doClickWin(probabilityOfClickingWin) 
{ 
    if (probabilityOfClickingWin >= new Random().NextDouble()) 
      return true; 

    return false; 
} 

但是，如果我跑我的程序很多次，我發現的機器人點擊「贏」時的實際比例遠低於90％（約60％）。

誰能告訴我我做錯了什麼？提前致謝。

Answer 1

概率計算比您想象的要複雜得多。獲勝的概率是

P(win on 0th tick) + P(win on 1st tick) + ... + P(win on 10th tick) 

我們稱之爲概率p（0）... p（11）。然後

P(win on 0th tick) = p(0) 
P(win on 1st tick) = (1-p(0)) * p(1) 
P(win on 2nd tick) = (1-p(0)) * (1-p(1)) * p(2) 

等在每一跳，你對蜱贏的概率是，你尚未在任何先前的蜱獲勝的概率乘以贏得現在的概率。我認爲你的機器人應該贏得大約63.17％的時間（我不確定你爲什麼看到大約30％ - 這可能是你程序中其他某個地方的bug嗎？ ）

用下面的號碼，你應該觀察大約90％的成功率整體

0  0 
1 0.0068 
2 0.0113 
3 0.0188 
4 0.0314 
5 0.0524 
6 0.0875 
7 0.1459 
8 0.2433 
9 0.4059 
10 0.6771 

---

編輯

我是如何拿出這些數字的？試錯。但是我們可以創建一個給定任何獲勝概率的過程，爲每個時間點生成一組合適的概率。

比方說，總的獲勝概率是Q，所以你要

P(Win on 0th tick) + ... + P(Win on 10th tick) = Q 

比方說，我們希望這是沒有機會一號蜱獲勝，和線性增加任何蜱勝算之後。所以概率必須加起來爲Q，並且得分爲i的勝利概率與i成正比。因此

P(Win on ith tick) = const * i 

因此

c * 0 + c * 1 + c * 2 + ... + c * 10 = Q 

=> 55 * c = Q 

=> c = Q/55 

這給了我們

P(Win on 0th tick) = 0 
P(Win on 1st tick) = Q/55 
P(Win on 2nd tick) = 2*Q/55 

等，現在你使用這些使用公式在後頂部，以確定每個p(i)的。我們有

p(0) = P(win on 0th tick) = 0 
p(1) = P(win on 1st tick)/(1-p(0)) = Q/55 
p(2) = P(win on 2nd tick)/(1-p(0))/(1-p(1)) = 2*(Q/55)/(1-Q/55) 

等這裏是一個Matlab例程，計算概率;它不應該很難翻譯成C＃或任何你使用的。

N = 10; 
Q = 0.9; 
p = zeros(N+1,1); 

for i = 1:N 
    p(i+1) = i * Q/(0.5*N*(N+1))/prod(1-p(1:i)); 
end 

這給這個結果

0   0 
1 0.0164 
2 0.0333 
3 0.0516 
4 0.0726 
5 0.0978 
6 0.1301 
7 0.1745 
8 0.2416 
9 0.3584 
10 0.6207