用於數理論應用的擴展精確浮點的快速計算

Question

我是一名研究生，致力於一個研究項目，涉及計算非常高度的數字字段中的代數整數的規範。從本質上講，這將包括將100個以上的浮點數一起乘以得到一個整數。我在C編程。

我遇到的問題是，我開始需要計算超過1e20 = 10^20的規範，這超出了我的硬件（Macbook）的整數和浮點精度。 。

我可以嘗試使用某種軟件模擬來實現擴展精度，但我的理解是比硬件浮點計算慢大約300倍。這意味着我現在需要幾天的計算會花費幾年時間，這是不可接受的。

我有兩個問題： 問題1：對於擴展精度的軟件仿真（比如10^36精度，大約是硬件精度的兩倍），我的估計速度是300x慢得多嗎？第二季度：我有幾千美元來解決這個問題，可能有什麼樣的硬件解決方案？

Answer 1

根據您提供的信息，除MPFR之外我沒有看到任何其他解決方案。是的，硬件浮點提前給出結果，但這是錯誤的結果。

你需要選擇一個精度來做計算。你的問題看起來好像你只關心最終結果的精確度，但實際上，每次操作都會失去準確性，如果你想要決定什麼樣的整數，這些損失的累積影響必須小於0.5是最終的答案。您可能需要選擇比表示最終結果足夠高的精度。

估計所需精度的兩種方法是事先數字分析和區間算術。我對數值分析一無所知，但基本原理是，每個非理性因子都用一個多精度浮點數表示，我們假設該距離小於0.5，並且每個乘法可能爲0.5 ULP，遠離實際結果（實際浮點操作數的乘積，而不是操作數應該表示的乘積）。人們發現在相對精度方面推理更簡單。

區間算術使操作次數增加一倍，但爲實際結果提供了有保證的界限。如果在計算的時間間隔內只有一個整數，那麼做得好！否則，以更高的精度重新開始。

最後，你問速度。如果你真的只有乘法，那麼並行化計算是微不足道的，因爲乘法是關聯的。