Flexagon Simulation

Question

模擬Flexagon的最佳方式是什麼？

在起點我最好的猜測是代表面和邊，以及基於模擬這裏邊相遇轉換。我認爲在實施轉型的過程中，在給定方向摺疊在物理上是不可能的時候，這是顯而易見的。

我要去嘗試通過實驗摸不着頭腦，但它肯定感覺就像凡在我與設施數學的間隙拖我的那種問題。

編輯：爲了澄清，我感興趣的是什麼樣的數據結構，我可以用它來代表一個flexagon，我怎麼能操縱這些數據結構來模擬flexagon的摺疊。

Answer 1

如果你寫的所有flexagon作爲一個方程組的不變量，圍繞法治國家小偏差可以寫成一個線性系統。例如，(x1,y1)和(x2,y2)之間一張紙的剛度強制

(x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2 - L**2 == 0 

這可以被軟化到的chi2

chi2 = (x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2 - L**2 + other constraints... 

衍生物相對於x1，x2，y1，y2收率線性方程。線性方程的系統是一個矩陣，而矩陣的特徵值/本徵矢量分解給你x1，x2，y1，y2參數，很容易或難以彎曲的線性組合。特徵向量是可能方向的基本集合，每個特徵向量都告訴你在這個方向上彎曲有多難。較大的特徵值更受約束。

上面的問題是，如果有真正允許的方向，即chi2相對於的導數爲0（原始約束絕對滿足），則矩陣是奇異的並且可以不要被顛倒以獲得特徵系統。如果你只想知道那些絕對允許的方向是什麼，你可以計算矩陣的零空間而不是它的特徵系統。然而，我懷疑（從來沒有玩過折彎機）「允許」方向涉及一點彎曲，在這種情況下，chi2很小但非零。那麼你會尋找小但非零的特徵值。其他自由度是允許的和無趣的，例如整個對象的平移或旋轉。把它變成一個純粹的特徵系統問題（沒有空的空間在所有），添加約束系統與任意小的常量拉姆達：

chi2 += lambda_x * (x1 + x2)**2/4.0 + lambda_y * (y1 + y2)**2/4.0 

你會承認他們在你的解決方案，因爲你而改變，他們會調整每個拉姆達。 （上面的例子給出了一個懲罰lambda_x到x中翻譯和lambda_y到沿y平移）

在實施方面，可以使用任何線性代數軟件來計算的解決方案，並檢查用於與lambda表達式變化。我用Python來原型這樣的問題（在高能物理檢測器對準，其中，所述約束是象「此檢測器是從檢測器3釐米」和chi2從不確定導出的測量「3釐米+ - 0.1釐米」 ），然後將解決方案移植到C++（BLAS）進行生產。 Python的Numpy庫有足夠的線性代數（它是BLAS的底層），儘管我也在Scipy中使用了通用的非線性最小化器來調試矩陣解決方案。最難的部分是讓索引排列正確，當將它轉換爲矩陣時，而不是將通用最小化器的目標函數賦值時（因爲您使用變量名稱）。這更像是一個Matlab或Mathematica問題，所以如果你對其中一個問題更加適應，那就用它來代替。這個問題將需要大量的試驗和錯誤，所以儘可能使用最多的交互式系統（其中一個具有良好的REPL或工作表/筆記本式界面）。

繪製連接圖（圖論理論圖，而不是圖），也可能有助於標記它們的約束條件。對我而言，在寫出方程之前，這是必要的第一步。

通過編寫一組帶參數值的函數（x1等）並用OpenGL（或其他3-D網格渲染器）繪製圖形，也可能有助於可視化系統。這可以告訴你是否違反了某些約束條件，因爲網格瓦片會互相傳遞。它還可以幫助您識別由每個特徵向量表示的自由度：通過由特徵向量表示的線性組合來改變參數，並且您會看到它是否只是平移/旋轉或者它是否進行了一些有趣的扭曲或摺疊。