如何爲幾個常微分方程添加白噪聲處理項，假設高斯分佈？

Question

這個問題已經讓我困惑了好幾天。當我提到高年級學生時，他們也不能回答。

我們有10個ODE，每個噪聲項都應該添加到其中。噪音定義如下。因爲我總是發現我無法上傳圖片，下面的公式可能不是很清楚。爲了理解，你可以閱讀我的解釋或去這個地址：Plos one。你可以在這個地址

1. 白噪聲項被假定爲高斯分佈epislon_i(t)找到方程正上方支持信息的描述。 epislon_i(t)意味着對於等式i和t時間點，噪聲的值。
2. 噪聲的自相關給出：

（等式1）

其中delta(t)是狄拉克δ函數與擴散矩陣D由

定義（EQ.2）

我們的問題m側重於如何解釋擴散矩陣中的狄拉克三角函數。由於狄拉克三角函數的性質是delta(0) = Inf和delta(t) = 0 if t neq 0，我們不知道如何計算epislon如果我們嘗試sqrt of 2D(x, t)delta(t-t')。所以我們簡單地假設：delta(0) = 1和delta(t) = 0 if t neq 0; 但我們不知道這是否正確。請問如何在MATLAB中使用擴散方程的Delta函數？

這個問題與MATLAB中的隨機過程有關。所以我們回顧不同的隨機過程來激發我們的想法。在MATLAB中，Wienner過程通常定義爲a = sqrt(dt) * rand(1, N)。 N是步數，dt是步長的長度。相應地，布朗運動可以定義爲：所有這些與隨機過程相關聯。然而，它們並不涉及對自相關矩陣有約束的白噪聲處理，由D指出。

然後我們認爲，我們可以簡單地使用randn(1, 10)來生成一個代表噪聲的向量。但是，由於噪聲的定義必須滿足方程（2），因此不能使具有預定義的部分相關性的不同方程中的噪聲項（D_ij）。然後我們嘗試使用mvnrnd在每個時間步驟生成一個多變量正態分佈。不幸的是，MATLAB中的函數mvnrnd返回一個矩陣。但是我們需要返回一個長度爲10的向量。

我們相當困惑，所以請你給我一個燈光？非常感謝！

Answer 1

_{注意：我看到這裏有兩個模糊的問題：1）如何處理在DE隨機項和2）如何處理在DE增量功能。這兩個都是數學相關的問題，http://www.math.stackexchange.com將是一個更好的地方。如果您有關於MATLAB的問題，我一直無法把它放下來，您應該添加代碼示例以更好地說明您的觀點。也就是說，我會簡單回答這兩個問題，只是爲了讓你走上正軌。}

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你這裏不是常微分方程，但隨機微分方程（SDE）什麼。我不確定你如何使用MATLAB來處理這個問題，但是像ode45或ode23這樣的例程不會有任何幫助。對於SDE，通常用於分離變量/特徵方法的數學工具不起作用，您需要使用Itô calculus和Itô積分來處理它們。正如你可能猜到的那樣，解決方案將是隨機的。要了解更多關於SDE並與他們合作，您可以考慮BerntØksendal的Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications以及Peter E. Kloeden和Eckhard Platen的數值解決方案Numerical Solution of Stochastic Differential Equations。

來到delta函數部分，您可以通過對ODE進行傅立葉變換來輕鬆處理它。回想一下delta函數的傅立葉變換是1。這極大地簡化了DE，並且您可以在最後進行逆向變換以返回到原始域。