我試圖求解具有固定邊界值的6階非線性偏微分方程（1D）（擴展Fisher-Kolmogorov-EFK）。在FTCS失敗後，下一次嘗試是使用例如MoL（空間中心或FEM）。 LSODES。高階偏微分方程
這是如何實現的？到目前爲止，使用Python/C + OpenMP，但需要一些指針 來有效地做到這一點。
EFK額外的6階項：
u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3
其中d，g分別實係數。
U（X，0）= EXP（-x^2/16）， UX = 0上邊界
域爲[0300]和DX < < 1，因爲我正在尋找圖案構造（受值d的 ，克）
我希望這是足夠的信息。
這樣所有的PDE解決方案將最終結束在你的程序中使用線性代數中表達，所以關鍵是要弄清楚如何獲得PDE成表格，您開始編碼之前。
有限元方法通常以加權殘差法開始。非線性方程將需要線性逼近和迭代方法，如Newton-Raphson。我會建議你從那裏開始。
你是一個短暫的解決方案，所以你必須做的時間推進。你可以使用一個明確的方法，以穩定限制要求的小時間步長或隱式方法來生活，這將迫使你在每一步進行一次矩陣求逆。
我首先做的線狀體的傅立葉分析，得到的穩定需求的概念。
，等式，使得它的非線性中的術語僅是最後一個：-u^3。你有沒有嘗試過把這個術語留下來，解決剩下的線性方程式？
UPDATE：通過評論促使一些額外的想法：
我明白u^3項是多麼重要。擴散是二階導數w.r.t.空間，所以我不會確定一個六階方程會跟風。我對偏微分方程的經驗來自於沒有六階方程的物理學分支，所以我實在不知道解決方案的樣子。我會首先解決線性問題以獲得它的感覺。
至於穩定和明確的方法，它的教條放在時間步長的穩定極限，使他們很可能會失敗，但概率不是1.0。我認爲地圖縮減和雲計算可能會使得明確的解決方案比10 - 20年前更加可行。顯式動力學已成爲解決困難靜力學問題的主流方法，因爲它們不需要矩陣求逆。
我的賭注是，這裏的-u^3恰恰是這個方程難以做到的（畢竟方程模型是相變的！）。如果你放棄它，你會得到一個香草擴散方程（一個相當異乎尋常的方程，我承認）。此外，馮諾依曼分析可能會告訴你，任何明確的方法都會失敗。你的建議通常是合理的，但這裏的困難很可能不在實施方法中。 – 2011-06-05 13:37:58
FTCS必然會失敗，除非您對拉普拉斯算子和第四個導數使用6階離散化。什麼沒有奏效 ？我不知道這個特定方程的困難（然而，u - u^3術語對任何方案的穩定性都可能造成一些破壞，而方程中有d和g的條件應該有解），所以任何額外的信息都會很好。也嘗試mathoverflow。（儘可能多的細節，特別是*爲什麼*您嘗試的方法不起作用）。 – 2011-06-05 12:34:59
一些快速檢查文獻似乎表明，FDM *應該*工作。儘管如此，甚至不打算嘗試明確的方法。 – 2011-06-05 12:37:04
[Math.SE]（http://math.stackexchange.com）可能比Mathoverflow更好，它主要是理論IMO。 – jonsca 2011-06-05 12:40:05