2011-06-05 108 views
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我試圖求解具有固定邊界值的6階非線性偏微分方程(1D)(擴展Fisher-Kolmogorov-EFK)。在FTCS失敗後,下一次嘗試是使用例如MoL(空間中心或FEM)。 LSODES。高階偏微分方程

這是如何實現的?到目前爲止,使用Python/C + OpenMP,但需要一些指針 來有效地做到這一點。

EFK額外的6階項:

u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3 

其中d,g分別實係數。

U(X,0)= EXP(-x^2/16), UX = 0上邊界

域爲[0300]和DX < < 1,因爲我正在尋找圖案構造(受值d的 ,克)

我希望這是足夠的信息。

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FTCS必然會失敗,除非您對拉普拉斯算子和第四個導數使用6階離散化。什麼沒有奏效 ?我不知道這個特定方程的困難(然而,u - u^3術語對任何方案的穩定性都可能造成一些破壞,而方程中有d和g的條件應該有解),所以任何額外的信息都會很好。也嘗試mathoverflow。(儘可能多的細節,特別是*爲什麼*您嘗試的方法不起作用)。 – 2011-06-05 12:34:59

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一些快速檢查文獻似乎表明,FDM *應該*工作。儘管如此,甚至不打算嘗試明確的方法。 – 2011-06-05 12:37:04

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[Math.SE](http://math.stackexchange.com)可能比Mathoverflow更好,它主要是理論IMO。 – jonsca 2011-06-05 12:40:05

回答

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這樣所有的PDE解決方案將最終結束在你的程序中使用線性代數中表達,所以關鍵是要弄清楚如何獲得PDE成表格,您開始編碼之前。

有限元方法通常以加權殘差法開始。非線性方程將需要線性逼近和迭代方法,如Newton-Raphson。我會建議你從那裏開始。

你是一個短暫的解決方案,所以你必須做的時間推進。你可以使用一個明確的方法,以穩定限制要求的小時間步長或隱式方法來生活,這將迫使你在每一步進行一次矩陣求逆。

我首先做的線狀體的傅立葉分析,得到的穩定需求的概念。

,等式,使得它的非線性中的術語僅是最後一個:-u^3。你有沒有嘗試過把這個術語留下來,解決剩下的線性方程式?

UPDATE:通過評論促使一些額外的想法:

我明白u^3項是多麼重要。擴散是二階導數w.r.t.空間,所以我不會確定一個六階方程會跟風。我對偏微分方程的經驗來自於沒有六階方程的物理學分支,所以我實在不知道解決方案的樣子。我會首先解決線性問題以獲得它的感覺。

至於穩定和明確的方法,它的教條放在時間步長的穩定極限,使他們很可能會失敗,但概率不是1.0。我認爲地圖縮減和雲計算可能會使得明確的解決方案比10 - 20年前更加可行。顯式動力學已成爲解決困難靜力學問題的主流方法,因爲它們不需要矩陣求逆。

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我的賭注是,這裏的-u^3恰恰是這個方程難以做到的(畢竟方程模型是相變的!)。如果你放棄它,你會得到一個香草擴散方程(一個相當異乎尋常的方程,我承認)。此外,馮諾依曼分析可能會告訴你,任何明確的方法都會失敗。你的建議通常是合理的,但這裏的困難很可能不在實施方法中。 – 2011-06-05 13:37:58