PSD（正半定）矩陣的平方根逆

假設我有一個正半定矩陣S，我想得到這個矩陣的平方根的倒數，即S^(-1/2)。PSD（正半定）矩陣的平方根逆

可以這樣嗎？

ei <- eigen(S) 
V <- ei$vectors 
res <- V %*% diag(1/sqrt(ei$values)) %*% t(V)

是res等於S^(-1/2)？

我只是做inverse of square root爲S的特徵值，這是正確的嗎？

我知道：如果想要得到S^(1/2)，那麼res <- V %*% diag(sqrt(ei$values)) %*% t(V)，這就是res = S^(1/2)。

S^(-1/2)怎麼樣？

感謝。

來源

2017-03-11 BioChemoinformatics

是的。我們可以很容易地舉個例子S和檢查泰晤士報RES時間res爲單位矩陣：

set.seed(123) 
S <- crossprod(matrix(rnorm(9), 3)) 

ei <- eigen(S) 
V <- ei$vectors 
res <- V %*% diag(1/sqrt(ei$values)) %*% t(V) 

S %*% res %*% res 
##    [,1]  [,2]  [,3] 
## [1,] 1.0000e+00 -2.3731e-15 -1.6653e-16 
## [2,] 3.3346e-15 1.0000e+00 -6.6613e-16 
## [3,] -1.0235e-16 8.3267e-16 1.0000e+00

還要注意的是S和RES通勤，即all.equal(S %*% res, res %*% S)爲TRUE，所以3個因素中的最後一行代碼可以以任何順序書寫。

來源

2017-03-11 23:52:16

如果作爲每OP的詢問，輸入矩陣是半正定的（和不正定），它的特徵值將不是全部爲正，並且在上面的答案將會失敗給出的方法中，由於

diag(1/sqrt(ei$values))

不會是有限矩陣。

來源

2017-07-29 20:29:05

PSD（正半定）矩陣的平方根逆

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