正半定矩陣的行列式

Question

正半定矩陣的行列式是否等於0，它在我的情況下會變成零。我有一個對角線元素非零的對角矩陣。當我試圖計算這個矩陣的行列式時，它就是0。爲什麼這樣呢？

Answer 1

顧名思義，積極的半正定矩陣可以具有本徵值等於零，所以因此其決定因素可以是零

現在，我看不到你的意思了一句什麼，

我有一個對角線元素非零的對角矩陣。當我嘗試計算...

如果矩陣是對角線，並且對角線上的所有元素都不爲零，那麼行列式應該爲非零。如果您正在計算機中計算它，請注意下溢。 您可以考慮對數的和，而不是對角元素的乘積

Answer 2

這就是爲什麼計算行列式從來就不是一個好主意的原因。是的，我知道。你的書，你的老師，或你的老闆告訴你這樣做。他們可能是錯的。爲什麼？決定因素是規模很小的野獸。即使有效地計算行列式（許多算法甚至無法做到這一點），但大多數時候並不真正需要行列式。

考慮這個簡單的正定矩陣。

A = eye(1000); 

什麼是行列式？我甚至不需要打擾。它是1.但是，如果你堅持...

det(A) 
ans = 
    1 

好吧，這樣的作品。如果我們簡單地將整個矩陣乘以一個小常數（例如0.1），那麼該如何呢？什麼是行列式？你可能會說沒有理由打擾，因爲我們已經知道行列式。它必須只是det（A）* 0.1^1000，所以1e-1000。

det(A*0.1) 
ans = 
    0 

我們在這裏做了什麼錯？如果失敗了，我們忘記記住我們正在進行浮點運算。由於MATLAB中雙精度的動態範圍僅下降到本質上

realmin 
ans = 
     2.2250738585072e-308 

然後較小的數字變成零 - 它們下溢。無論如何，當我們計算一個行列式時，大多數情況下，我們都是這樣做的。如果他們希望你測試一下矩陣是否單數，那麼使用rank或cond，而不是det。