快速矩陣求冪

Question

是否有任何更快的矩陣求冪方法來計算M^n（其中M是一個矩陣，n是一個整數）比簡單的除法和征服算法。

Answer 1

您可以將矩陣分解爲特徵值和特徵向量。那麼你得到

M = V^-1 * D * V 

其中V是特徵向量矩陣和D是一個對角矩陣。爲了提高到N次方，您得到如下結果：

M^n = (V^-1 * D * V) * (V^-1 * D * V) * ... * (V^-1 * D * V) 
    = V^-1 * D^n * V 

因爲所有的V和V^-1項都被取消了。由於D是對角線，你只需要將一堆（實數）數字提升到第n次方，而不是滿矩陣。你可以在n的對數時間內做到這一點。

計算特徵值和特徵向量是r^3（其中r是M的行數/列數）。取決於r和n的相對大小，這可能會更快或者不更快。

Answer 2

Exponentiation by squaring經常用來獲得矩陣的高次冪。

Answer 3

我會推薦用於計算matrix form中Fibbonacci序列的方法。 AFAIK，其效率是O（log（n））。

Answer 4

使用歐拉快速冪算法很簡單。使用下一個算法。

#define SIZE 10 

//It's simple E matrix 
// 1 0 ... 0 
// 0 1 ... 0 
// .... 
// 0 0 ... 1 
void one(long a[SIZE][SIZE]) 
{ 
    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = (i == j); 
} 

//Multiply matrix a to matrix b and print result into a 
void mul(long a[SIZE][SIZE], long b[SIZE][SIZE]) 
{ 
    long res[SIZE][SIZE] = {{0}}; 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      for (int k = 0; k < SIZE; k++) 
      { 
       res[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; 
      } 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = res[i][j]; 
} 

//Caluclate a^n and print result into matrix res 
void pow(long a[SIZE][SIZE], long n, long res[SIZE][SIZE]) 
{ 
    one(res); 

    while (n > 0) { 
     if (n % 2 == 0) 
     { 
      mul(a, a); 
      n /= 2; 
     } 
     else { 
      mul(res, a); 
      n--; 
     } 
    } 
} 

下面請找出等值數字：

long power(long num, long pow) 
{ 
    if (pow == 0) return 1; 
    if (pow % 2 == 0) 
     return power(num*num, pow/2); 
    else 
     return power(num, pow - 1) * num; 
}