p（x）⇒∀x.p（x）是否或然？

Question

我遇到一個問題，問了句流動是否有效/然/不可滿足：

p(x)⇒∀x.p(x) 

我認爲答案是句子是有效的。這裏的教材第6.10節http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

一個帶有自由變量的句子相當於所有自由變量被普遍量化的句子。

因此，我認爲第一個關係句p（x）等於∀x.p（x），因此這個句子是有效的，即。它總是如此。

但是，正確的答案是，這句話是偶然的。在某些事實分配下它是真實的，而其他一些真相分配是錯誤的。

那麼爲什麼這句話是偶然的呢？答案是錯的嗎？

Answer 1

你有一個說法：

p(x)⇒∀x.p(x) 

如果普遍接近自由變量，你會得到：

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x)) 

換句話說：

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y)) 

這不是同義反復，但是是有條件的。在非技術方面，這寫着：

任何x，如果p(x)是真的，那麼p(y)是所有y

真或將其轉化成等價的形式：

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y)) 

記載：

如果p(x)是適用於某些x，然後p(y)是所有y

換句話說真實，

p(x)要麼是永遠爲真或假

Answer 2

我認爲這取決於你如何閱讀這個句子。

如果您將其作爲定義來閱讀，則不是偶然的。

但是，如果你把它看作純粹的邏輯......那麼在聲明中實際上有2個含義x。含義左側的x與右側量化中的x不同。

p(x) => for all x . p(x) 

裝置相同

p(x) => for all y . p(y) 

，這是清楚的隊伍。對於所有謂詞p而言並非如此。

（例如：

1. 讓p(x)立場謂詞 「x被左撇子」

2. 聲明接着說：

   X is left-handed implies that everyone is left-handed. 
   

   ...這不是一個邏輯有效聲明

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請參閱@ sawa的答案，以獲得更「數學嚴謹」的解釋。