爲什麼在執行離散傅里葉逆變換時將索引視爲連續變量不起作用？

Question

我有一組描述複平面中閉合曲線的點，稱之爲Z = [z_1, ..., z_N]。我想插入這條曲線，並且由於它是週期性的，所以三角插值似乎是一個自然的選擇（尤其是因爲它的精度提高了）。通過執行FFT，我們得到的傅里葉係數：

F = fft(Z); 

在這一點上，我們可以得到Z回由式（其中1i是虛數單位，我們用(k-1)*(n-1)因爲MATLAB索引從1開始）

    N 
    Z(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. 
       k=1 

我的問題

有什麼理由n必須爲整數？大概，如果我們將n視爲1和N之間的任何實數，我們將只在插值曲線上得到更多點。 這是真的嗎？例如，如果我們想雙倍積分的數量，我們可以不設置

    N 
    Z_new(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N 
       k=1 

？

新的點當然只是受到一些插值錯誤的影響，但它們會相當準確，對嗎？ 我問這個問題的原因是因爲這種方法不適合我。當我試圖做到這一點時，我得到了一些亂七八糟的問題，這是毫無意義的。

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（順便說一句，我知道我可以使用interpft()命令，但我想只有在曲線的某些區域z_a和z_b之間添加點，例如）

Answer 1

重點是當n是整數時，您有一些主要功能是正交的並且可以作爲空間的基礎。當，n不是整數時，公式中的指數函數不是正交的。因此，基於這些非正交基礎的函數表達式並沒有像你期望的那麼有意義。

對於正交情況，您可以看到以下示例（從here）。正如你可以檢查，你可以找到兩個不是整數的n_1和n_2，下面的積分不再是零，它們也不是正交的。