如何在matlab中一次拍攝兩個以上矩陣的外積？

Question

我想計算y = a⊗a⊗a，其中a是n×1矢量，並⊗是outer product operator。在這種情況下，y應該是一個n乘n的張量。

如果y = a⊗a，很容易。我只是這樣做：

y = a * a' 

但在第一種情況下該怎麼辦？如果有兩個以上的向量，我如何在MATLAB中高效地計算這個外部產品？

Answer 1

在y = u⊗v多維（張量）情況下，我認爲，你需要第二個操作數的尺寸轉移，像這樣：他們bsxfun

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)])); 

，然後乘：

y = bsxfun(@times, u, v_t); 

常規矩陣乘法僅被定義爲向量和2- d矩陣，所以我們不能在一般情況下使用它。

另請注意，如果第二個操作數是一維矢量，則此計算仍然失敗，因爲ndims對矢量返回2而不是1。爲此，讓我們自己定義的函數，計算尺寸：

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x)); 

要完成的回答，您可以定義一個新的功能（如匿名函數），像這樣：

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)]))); 

然後根據需要多次使用它。例如，y = a×a×a將計算如下所示：

y = outprod(outprod(a, a), a); 

當然，你可以寫一個更好的函數採用可變數量的參數，爲您節省一些打字。沿着這些線：

function y = outprod(u, varargin) 
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x)); 
    y = u; 
    for k = 1:numel(varargin) 
     v = varargin{k}; 
     v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)])); 
     y = bsxfun(@times, y, v_t); 
    end 

我希望我得到了正確的數學！

Answer 2

您可以使用爲好kron功能：

kron(a * a', a) 

，或者當需要四個外（克羅內克張量）產品：

kron(kron(a * a', a), a) 

等。最後一個給出了一個矩陣，其中m = n * n * n。

如果添加尺寸也希望能與產品回事，你可以使用reshape功能：

reshape(kron(a * a', a), [n, n, n]) 

或

reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n]) 

等。最後一個給出了一個n張n×n×n×張量。

Answer 3

與a previous solution一樣使用kron的問題在於它拋棄了外部產品的規範索引。

相反，ndgrid非常適合這樣的場景：

a = [1; 2; 3]; 
b = [4; 5]; 
c = [6; 7; 8; 9]; 

[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c)); 

% desired outerproduct 
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz); 

在紙面上，我們可以檢查所需的解決方案M是數據立方體：

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
      |   |   | 
24 30 | 28 35 | 32 40 | 36 45 
48 60 | 56 70 | 64 80 | 72 90 
72 90 | 84 105 | 96 120 | 108 135 

使用克羅內克積方法

M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]); 

我們會得到：

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
      |    |    | 
24 36 | 64 84 | 30 45 | 80 105 
28 48 | 72 96 | 35 60 | 90 120 
32 56 | 72 108 | 40 70 | 90 135 

數據立方體M2具有相同的元件M，但這些元素重新排列。這是因爲kron(a * b', c)不包含連續塊中的M切片，以便於直接應用reshape函數。要通過這種方式計算外部產品，我們需要對kron(a * b', c)的元素應用重排操作/功能（可確定，但非常耗時且耗時）。

使用ndgrid的另一個優點是它可以輕鬆地推廣到更高的訂單。