如何連接兩個擬合的B樣條曲線？

Question

我使用B樣條曲線擬合來獲得一條平滑曲線。如果我獲得兩個光滑的B樣條，那麼我怎麼才能順利連接。例如，我有59個點（（x0，y0，z0），...，（x58，y58，z58）），並且我有兩個擬合的B樣條。一個B樣條爲前30個點，另一個爲後30個點，兩個點共有一個公共點（（x29，y29，z29））。由於曲線擬合，點（x29，y29，z29）將被修改兩次，並且會有兩個新的位置。如果我只連接兩個新位置，最終曲線在點（x29，y29，z29）處將不平滑。目前，我一起對所有數據執行曲線擬合，但會完全修改前30個點的平滑曲線。我希望只修改第一條平滑曲線的連接部分。我知道我需要在關節處施加相等的衍生物。我不知道該怎麼做。

Answer 1

看起來你正在用B樣條曲線或類似的東西做LS擬合，並且通常這樣獲得的B樣條不會通過任何數據點。這就是爲什麼兩個B樣條不符合共同點。

要解決此問題，您可以增強您的LS擬合功能，以將約束作爲輸入的一部分。在你的情況下，這些約束是線性的，因此你的問題仍然是線性的。完成此步驟後，可以預先計算公共點處的斜率，並約束B樣條曲線擬合公共點和常見斜率。這樣獲得的兩個B樣條至少在公共點處是G1連續的。儘管如此，實現受約束的LS擬合併不是一項簡單的任務，在這裏也不容易闡述。所以，你必須自己做一些「谷歌搜索」。另一種解決方案是「調整」兩個B樣條，使它們以G1方式連接。但是這樣做肯定會增加擬合誤差，因爲最小平方誤差的感覺被破壞了。通過「調整」，我打算在本地更改B樣條的控制點。在下面我會提供更多細節。假設有兩個B樣條C1（t）和C2（t），C1（t）的最後兩個控制點分別是P（n-2）和P（n-1），前兩個控制點C2（t）的點是Q（0）和Q（1）。假定P（n-1）和Q（0）接近兩個數據集的公共點（x29，y29，z29）。調整B樣條曲線僅僅意味着改變P（n-2），P（n-1），Q（0）和Q（1）的位置，使得這兩條B樣條曲線將以G1方式相交。要做到這一點，

1）我們首先通過移動P（n-1）和Q（0）到相同的位置，它可以是（x29，y29，z29）或簡單的P （n-1）和Q（0）。我們將這個新位置表示爲R.

2）現在檢查P（n-2），R和Q（1）是否共線。如果它們碰巧是共線的，那麼兩條B樣條曲線也將是G1，並且你完成了。如果它們不是共線的，則找到從P（n-2）和Q（1）通過R的最佳近似線，然後將P（n-2）和Q（1）投影到該線上，並使用投影點作爲P（n-2）和Q（1）的新位置。

經過這兩步後，這兩條B樣條曲線應該以G1方式連接。但是常見關節周圍原始數據點的誤差會變大。