函數在數值積分中的誤差

Question

我正在尋找一個函數，該函數使用高斯積分或辛普森積分在數值積分中產生重大誤差。

Answer 1

如果你正在尋找一個困難的功能整合爲一個測試方法，你可以考慮一個在CS堆棧交換問題：，其中一個答案建議使用

Method for numerical integration of difficult oscillatory integral

在這個問題上Matlab的chebfun庫，其中包含基本的Levin-type method的實現。這表明，該功能將失敗，使用更簡單的方法，如辛普森的規則。

Answer 2

由於辛普森和高斯的方法試圖用一些簡單的光滑函數（如二階多項式）擬合一個所謂的平滑函數，否則使用低階多項式和其他簡單的代數函數，如$$ a + 5/6 $$，有意義的是，最大的挑戰將是不是二階多項式或類似於這些簡單函數的函數。

• 階躍函數，或更一般的函數是短期運行常量，然後跳轉到另一個值。樓梯或沃爾什函數（用於一種二進制傅里葉變換）應該很有趣。只是一個簡單的單步不適合任何多項式近似。

• 嘗試一個高階多項式。只要x^n大n應該很有趣。也許減去一些大n的x^n - x ^（n-1）。 「大」有多大？對於辛普森來說，也許是4或更多。對於使用k個點的高斯，n> k。 （不要試圖超出適度的兩位數字;除了任何積分之外，這只是一個令人討厭的計算。）

• 很少有數值積分方法，例如極點，即對某些鄰域類似1 /（xa）的函數在...附近。由於處理實際無窮可能會遇到麻煩，請嘗試將其從實線或複共軛對推出。使用1 /（（x-a）^ 2 + b）做一個大但有限的尖峯，其中b> 0很小。或者表達式的平方根，或者它的正弦或指數。你可以用更大的力量取代「2」，我敢打賭這會很討厭。

曾幾何時，我想測試一個數值積分例程。我從一些階梯函數或一列矩形脈衝開始，在一些點上採樣。

我使用Savitzky-Golay濾波器計算了一個近似導數。 SG可以使用相鄰點的有限窗口區分數值數據，但通常用於平滑。它需要一個窗口大小（點數），多項式順序（實踐中2或4，但你可能想要堅持更高）和差異順序（通常0爲平滑，1爲導數）。

結果是一系列的脈衝，然後我就整合了。一個好的例程會重建原始的階梯或矩形脈衝。我想如果選擇正確的SG參數，你會讓Simpson和Gauss在他們的墳墓裏翻滾。