數值積分

Question

一般來說，當你在進行數值計算和積分時，比如說在MATLAB中，我只是爲界限選擇一個大數，還是有辦法告訴MATLAB「採取極限？」。

我假設你只是使用大數字，因爲不同的機器將能夠處理不同數量的數字。

我只是想知道如果他們是一種方法來提高我的代碼。我正在通過蒙特卡羅進行大量期望值計算，並且經常使用梯形方法來檢查我自己的自由度是否足夠小。

Answer 1

嚴格地說，不可能將數值積分評估爲無窮大。在大多數情況下，如果所討論的積分是有限的，則可以簡單地在相當大的範圍內進行積分。爲了收斂在一個穩定的值，正常誤差的積分必須小於10西格馬 - 這個值，無論好壞，因爲等於，因爲你將得到評估相同的整體積分到無窮遠。

Answer 2

這很大程度上取決於您想要集成的功能類型。如果它是「光滑的」（沒有跳躍 - 最好不在任何派生物中，但它變得越來越不重要）和有限的，你有兩個主要選擇（限制我自己到最簡單的方法）： 1.如果它是週期性的，這裏的意思是：你可以把左右兩端放在一起，也沒有價值跳躍（和衍生物...）：在整個區間內均勻分佈你的點，只取樣函數值來得到估計的平均值，由間隔的長度來獲得你的積分。 2.如果不是週期性的：使用Legendre集成。蒙特卡羅幾乎總是一個糟糕的方法：它對於（機器）精度的進展非常緩慢：對於任何額外的重要數字，您需要應用100倍以上的點數！ 以上兩種方法對於週期性和非週期性的「良好」（平滑等）函數給出了公平的結果，只有非常少量的採樣點，然後向更加精確的方向快速前進：更通常2個點中的1個通常增加幾個數字到你的精確度！這遠遠超過了當你想用更多樣本點來應用下一個努力時，你必須拋棄先前結果的所有部分的負擔：你用一個新的新點替換前一個點，而在蒙特卡洛你可以只需簡單地爲現有集合添加點，然後完善結果。