2-d卷積作爲基質 - 矩陣乘法

Question

我知道在1-d情況下，兩個矢量a,b之間的卷積可以被計算爲 conv(a,b)，而且作爲T_a和b之間的乘積，其中T_a是相應的Toeplitz矩陣爲a。

是否有可能將此想法擴展到2-D？

鑑於a=[5 1 3;1 1 2;2 1 3]和b=[4 3;1 2]，是有可能a轉換在託普利茲矩陣，並計算T_a和b作爲之間的矩陣矩陣產物在1-d的情況下？

Answer 1

是的，這是可能的，你也應該使用一個雙塊循環矩陣（這是矩陣的一個特例Toeplitz）。我將給你一個小內核和輸入的例子，但是可以爲任何內核構造Toeplitz矩陣。所以你有一個2d輸入x和2d內核k，你想計算卷積x * k。我們還假設k已翻轉。我們還假設x的尺寸爲nxn，而k的尺寸爲mxm。

因此，您將k展開爲大小爲(n-m+1)^2 X n^2的稀疏矩陣，並將x展開爲長向量n^2 X 1。你計算這個稀疏矩陣與一個向量的乘積，並將結果向量（它的大小爲(n-m+1)^2 X 1）轉換成一個n-m+1方陣。

我很確定這很難從閱讀中理解。所以這裏是2x2內核和3x3輸入的例子。

*

這裏是與載體構建的矩陣：

其等於。

而這與通過k的滑動窗口超過x所得到的結果相同。

Answer 2

如果你解開k以我^ 2載體，展開X，你會再拿到：

• 一個m**2矢量k
• 一個((n-m)**2, m**2)矩陣unrolled_X

其中unrolled_X可能通過以下Python代碼獲得：

from numpy import zeros 


def unroll_matrix(X, m): 
    flat_X = X.flatten() 
    n = X.shape[0] 
    unrolled_X = zeros(((n - m) ** 2, m**2)) 
    skipped = 0 
    for i in range(n ** 2): 
     if (i % n) < n - m and ((i/n) % n) < n - m: 
      for j in range(m): 
       for l in range(m): 
        unrolled_X[i - skipped, j * m + l] = flat_X[i + j * n + l] 
     else: 
      skipped += 1 
    return unrolled_X 

展開X而不是k允許爲每個X使用更緊湊的表示（更小的矩陣） - 但您需要展開每個X.您可能更願意展開k，具體取決於您想要執行的操作。

在這裏，unrolled_X不稀疏，而unrolled_k將是稀疏的，但大小爲((n-m+1)^2,n^2)作爲@Salvador Dali提到。

展開k可以這樣進行：

from scipy.sparse import lil_matrix 
from numpy import zeros 
import scipy 


def unroll_kernel(kernel, n, sparse=True): 

    m = kernel.shape[0] 
    if sparse: 
     unrolled_K = lil_matrix(((n - m)**2, n**2)) 
    else: 
     unrolled_K = zeros(((n - m)**2, n**2)) 

    skipped = 0 
    for i in range(n ** 2): 
     if (i % n) < n - m and((i/n) % n) < n - m: 
      for j in range(m): 
       for l in range(m): 
        unrolled_K[i - skipped, i + j * n + l] = kernel[j, l] 
     else: 
      skipped += 1 
    return unrolled_K