控制精度溢出和損失，同時乘以雙打

Question

QUES：

我有大量浮點數（〜萬數），小數點後各自具有6位數字。現在，所有這些數字的乘法將產生大約60,000個數字。但雙倍範圍僅適用於15位數字。輸出產品必須在小數點後有6位精度。

我的方法：

我想10^6這些數字相乘，然後將它們相乘，後來由10^12分他們。

我也想過用這些數字乘以數組來存儲它們的數字，然後把它們轉換成十進制數。但是這也看起來很麻煩並且可能不會產生正確的結果。

有沒有更容易的方法來做到這一點？

Answer 1

我想這些數字乘以10^6，然後乘以它們，然後再除以10^12。

這隻會進一步降低準確性。在浮點數中，大數表示大致與小數字一樣。只讓你的數字更大意味着你正在做19999乘法（和一個除法）而不是9999乘法;它不會神奇地給你更有意義的數字。

該操作只有在防止部分產品進入低於正常範圍的情況下才有用（在這種情況下，建議乘以2的冪數以避免由於乘法導致的準確度損失）。在你的問題中沒有跡象表明會發生這種情況，沒有示例數據集，也沒有代碼，所以只能提供下面的通用解釋：

浮點乘法在不下溢或溢出時表現非常好。在第一階中，你可以假設相對誤差加起來，所以乘以10000的值產生的結果是相對於（*）數學結果的9999個機器。

上述問題的解決方案（無代碼，無數據集）是對中間乘法使用更寬泛的浮點類型。這既解決了下溢或溢出的問題，又爲最終結果留下了相對的準確性，從而一旦舍入到原始浮點類型，該產品最多隻能有一個ULP出錯。

根據您的編程語言，這種更寬的浮點型may be available aslong double。對於10000次乘法，在x86處理器中廣泛使用的80位「擴展雙倍」格式將顯着改善事情，只要您的編譯器將此80位格式映射到浮點，您幾乎不會看到任何性能差異類型。否則，您將不得不使用軟件實現，例如MPFR'的任意精度浮點格式或double-double格式。 （*）實際上，相對誤差是複合的，因此相對誤差的實際界限更像（1 +ε），其中ε是機器的ε值。而且，實際上，相對誤差通常會相互抵消，因此您可以預期實際相對誤差會像理論最大誤差的平方根那樣增長。