最佳擬合方到四邊形

Question

我有由四個點，A，B，C和d，其中僅其位置是已知的形狀。目標是將這些點變換爲具有相對於彼此的特定角度和偏移量。

例如：A(-1,-1) B(2,-1) C(1,1) D(-2,1)，應將其轉換爲AB，BC，CD和AD之間的偏移量爲2的完美正方形（所有角度爲90°）。結果應爲逆時針輕微旋轉的正方形。

什麼是最有效的方法來做到這一點？ 我用這一個簡單的塊模擬程序。

Answer 1

正如馬克暗示，我們可以使用約束優化找到側2平方米，爲原來的角落的距離的平方最小。

我們需要儘量減少f = (a-A)^2 + (b-B)^2 + (c-C)^2 + (d-D)^2（其中方實際上是向量參數的點產品，本身）受到一些限制。

繼Lagrange multipliers的方法，我選擇了追隨距離限制：

g1 = (a-b)^2 - 4 
g2 = (c-b)^2 - 4 
g3 = (d-c)^2 - 4 

及以下角度約束：

g4 = (b-a).(c-b) 
g5 = (c-b).(d-c) 

快速餐巾紙草圖應該說服你，這些限制就足夠了。

然後，我們希望儘量減少˚F受G的全部爲零。

拉格朗日函數是：

L = F +薩姆（i = 1至5，李GI）

其中li s爲拉格朗日乘子。

漸變是非線性的，所以我們必須採取粗麻布並使用multivariate Newton's method迭代到解決方案。

這是我得到了解決（紅色）給出的（黑色）的數據：

這花了5次迭代，該步驟的L2標準之後是6.5106e-9。